Enunciado

A temperatura pode alternativamente ser definida como:

T = ∂ u ∂ s v

Prove que essa definição reduz a variação líquida da entropia de dois sistemas a volumes constantes preenchidos com substâncias compressíveis simples para zero à medida que os dois sistemas se aproximam do equilíbrio térmico.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Bem, os dois sistemas de volume constante formam um sistema isolado, que pode ser demonstrado assim:

Para um sistema isolado, temos:

d S t o t a l = d S A + d S B   ≥ 0             1

Vamos assumir que S = S ( u , v )

Então:

d s = ∂ s ∂ u v d u + ∂ s ∂ v u d v  

E, para v = c t e   → d v = 0 , portanto:

d s = ∂ s ∂ u v d u

E, para a definição da temperatura dada no problema:

d u ∂ s ∂ u v = d u T

Então, a equação 1, sabendo que d s = m d u T , temos:

d S t o t a l = m A d u A T A + m B d u B T B           ( 2 )

Agora, ao aplicar a primeira lei no sistema isolado:

E e n t r a - E s a i = d U

Como o sistema é isolado: E e n t = E s a i . Portanto:

m A d u A = - m B d u B

Assim, substituindo esta relação encontrada na equação 2, têm-se:

d S t o t a l = m A d u A 1 T A - 1 T B           →     d S t o t a l = m A d u A T B - T A T A T B

Resposta

Portanto, à medida que os dois sistemas se aproximam do equilíbrio térmico:

lim ⁡ d S t o t a l = 0

E

T A → T B

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