Utilizando as Eqs. 12.56 , mostre que

m ˙ 21 m ˙ a 2 = ω 3 - ω 2 ω 1 - ω 3 = h a 3 + ω 3 h h 3 r - h a 2 + ω 2 h g 2 h a l + ω 1 h g 1 - h a 3 + ω 3 h k 3

Empregue esta relação para mostrar em uma carta psicrométrica que o estado 3 da mistura está sobre uma linha reta que conecta os estados iniciais dos dois fluxos antes da mistura.

Passo 1

CONHECIMENTO: Ar úmido em T 1 = 30 ∘ C , p 1 = 1   b a r ,   ϕ 1 = 50 % , m ˙ 1 = 3 k g / m i n se mistura adiabaticamente com ar saturado T 2 = 5 ∘ c , p 2 = 1   b a r ,   m ˙ 2 = 5 k g / m i n para produzir uma mistura única a P 3 = 1   b a r

ENCONTRE: determine a ϕ 3 , T 3 e a taxa de energia de destruição

Passo 2

P 1 = P 2 = P 3 = 1   b a r     T 0 = 293 K  

PREMISSAS: (1) O volume de controle mostrado na figura acompanhante opera em estado estacionário com Q ˙ev = w ˙cν = 0 e efeitos desprezíveis de cinética e energia potencial. (2) Cada fluxo pode ser modelado como uma mistura de gás ideal.

ANÁLISE: No estado estacionário, os balanços da taxa de massa reduzem para dar m ˙ 3 = m ˙ 1 + m ˙ 2

m ˙ a 3 = m ˙ a 1 + m ˙ a z , m ˙ v 3 = m ˙ v 1 + m i v 2 , m ˙ v 3 = m ˙ v i + m ˙ v 2 . Para cada fluxo m ˙ = m ˙ a + m ˙ v = m ˙ a ( 1 + ω )

Consequentemente m ˙ a 3 ω 3 = m ˙ a 1 ω 1 + m ˙ a 2 ω 2 ,

Ou ω 3 = m ˙ a 1 ω 1 + m ˙ a 2 ω 2 m ˙ a 1 + m ˙ a 2 = ω 1 1 + ω 1 m ˙ 1 + ω 2 1 + ω 2 m ˙ 2 m ˙ 1 1 + w 1 + m 2 1 + ω 2

Para encontrar ω 1   e ω 2 , P v 1 = ϕ 1 P g T 1 = 0.5 ( 0.04246 ) = 0.02123   b a r ,   P v 2 = ϕ 2 P g T 2 = 0.00872   b a r :

Portanto ω 1 = 0.622 0.02123 1 - 0.02123 = 0.01349 k g ( v ) k g ( a ) , ω 2 = 0.622 0.00812 1 - 0.00872 = 0.00547 k g ( v ) k g ( a )

Consequentemente

ω 3 = 0.01349 1.01349 ( 3 ) + 0.00547 1.00547 ( 5 ) 3 1.01349 + 5 1.00547 = 0.008463 k g ( v ) k g ⁡ ( a )

Resolvendo eq 12.43

P v 3 = P 3 ω 3 0.622 + ω 3 = ( 1 ) ( 0.008463 ) 0.63046 = 0.01342 ⇒ ϕ 3 = P V 3 P g T 3 = 0.01342 P g T 3

Para encontrar T3, um equilíbrio da taxa de energia reduz para

0 = m a 1   ( h a 1 + w 1 , h 11 ]   +   m i a r ⁡ h A 2 + w 2 h { 2 - m a 3 ⁡ ( h 13 + ω 2 h g 3 ]

Então h a 3 + w 3 h g 3 = m ˙ a 1 h a 1 + ω 1 h g 1 + m ˙ a 2 h a 2 + ω 2 h g 2 m ˙ a 1 + m ˙ a 2

m ˙ a 1 = m ˙ 1 / 1 + ω 1 = 2.96 k g ( a ) / m i n , m ˙ a 2 = m ˙ 2 / 1 + ω 2 = 4.9728 k g ( a ) / m i n .

Com dados da tabela A2 e A 22

h a 3 + ω 3 h g 3 = ( 2.96 ) [ 303.21 + ( 0.01349 ) ( 2556.3 ) ] + 4.9728 [ ( 278.1 + ( 0.00547 ) ( 2510.6 ) ] ( 2.96 + 4.9728 )

= 308.95 k J / k g ( a )

Passo 3

Esta equação tem um único desconhecido, T3. A resolução iterativa usando dados da tabela dá

T 3 = 14.4 ∘ C

Retornando para eq (1) ϕ 3 = 0.01342 0.01641 = 0.818 ( 81.8 % )

A taxa de destruição de energia é obtida a partir de E d = T_0 \ sigmaier, quando e \ sigmaier é a taxa de produção de entropia de um equilíbrio de taxa de entropia que, em estado estacionário, reduz para

0 = ∑ Q ˙ j 0 T j + m a 1 ⁡ s a T 1 , p a 1 + m i v 1 ⁡ s i v ⁡ ζ , P v + ( m i a 2 ⁡ s a l ⁡ T 2 , P a 2 + m i v 2 ⁡ s g ⁡ T 2 ] -

( m a 3 s a T 3 , r a 3 + m i v 3 ⁡ δ v T 3 , p 13 ] + σ ˙ c V

Ou = m ˙ a 1 S a T 1 , P a 3 - S a T 1 , p 11 + m i a r ⁡ [ S a ⁡ T 3 , A 3 - S a T 4 , P 1 t ] + m a s ⁡ ω 3 s v T 3 , P 3

- m a 1 ⁡ ω 1 s v τ 1 , p v 1 - m 1 a 2 ω 2 S g T 2

Da q ⋅ 6 . 19 , s v ( T , P → ) = S q ( T ) - R ^ / μ v l n ⁡ ϕ e usando eq 6.23 para ar úmido

σ c v = m a n ⁡ c p a l n ⁡ T 3 T 1 - R _ M a l n ⁡ P a 3 P a 1 + m i a 2 ⁡ C p a ⁡ l n ⁡ T 3 T 2 - R _ M A ¯ l n ⁡ P a 3 P A 2

+ m i n 3   ω 3 s g T 3 - p _ μ v l n ⁡ ϕ 3 - m a 1 ˙ ω 1 S g T 1 - Γ M v l n ⁡ ϕ 1 - m i n 2   c o s 2 ⁡ T 2

Do cálculo prévios P a 1 = 0.97877   b a r ,   p a = = 0.99128   b a r ,   a n d   P A 3 = 1 - 0.01342 = 0.98658   b a r . Avaliando σ ˙ c v     c o m   C A = 1.005 k J / k g ⋅ K

σ ˙ c v = 2.96 1.005 l n ⁡ 287.4 303 - 8.314 28.97 l n ⁡ 0.98658 0.97877 + 4.9128 1.005 l n ⁡ 287.4 278 - 8.314 28.97 l n ⁡ 0.98658 0.99128 + ( 7.9323 ) ( 0.008463 ) 8.79544 - 8.314 18.02 ⋅ l n ⁡ 0.818 - ( 2.96 ) ( 0.01349 ) 8.4533 - 8.314 18.02 l n ⁡ 0.5 - = 0.009828 k J / m i n K

A taxa de energia de destruição

E ˙ d = ( 293 k ) 0.009828 k J / m i n K 1 m i n 60 s 1 k W ∣ k J / s = 0.048 k W

A solução alternativa que evita a iteração com os dados da tabela é obtida usando o TI, da seguinte forma:

Código IT

T 1 = 30 l / C   p = 1 / / b a r     p h i 1   = 0.5     m d o t   1 = 3 / / k g / m i n   T 2 = 5 / / C     p h i 2   = 1     m d o t   2 = 5 / / k g / m i n  

w 1 = w - T p h i ⁡ ( T 1 , p h i 1 , p ) w 2 = w - T p h i ( T 2 , p h i 2 , p )

mdota1 = mdot 1 / ( 1 + w 1 ) mdota 2 = m d o t ⁡ 2 / ( 1 + w 2 )

mdota3 = m d o t a 1 + m d o t a 2 mdota3   * w 3 = m d o t a ⁡ 1 * w 1 + m d o t a ⁡ 2 * w 2 m d o t a ⁡ 3 * h 3 = m d o t ⁡ a 1 * h 1 + m d o t a ⁡ 2 * h 2

h 1 = h a T w ⁡ ( T 1 , w 1 )   h 2 =   h a _ T w   ( T 2 , w 2 )   h 3 = h a - T w ⁡ ( T 3 , w 3 )  

w 3   =   w _ T p h i ( T 3 , p h i 3 , p )

0 = mdota1* s 1 + mdota2   * s 2 - mdota 3 * 3 + sigmadotEdotd = To * sigmadot / 60 T 0 = 293

s 1 = s a T T ( T 1 , w 1 , p ) s 2 = s a - T w ( T 2 , w 2 , p ) s 3 = s a - T w ( T 3 , w 3 , p )

Resultados IT

ω 1 = 0.0135   k g ( v ) / k g ( a ) ω 2 = 0.005486   k g ( v ) / k g ( a ) ω 3 = 0.008477   k g ( v ) / k g ( a ) m ˙ a 1 = 2.96   k g ( a ) / m i n m ˙ a 2 = 4.973   k g ( a ) / m i n m ˙ a 3 = 7.933   k g ( a ) / m i n σ ˙ c V = 0.01009   k J / m i n ⋅ K T 3 = 14.41 ∘ C ϕ 3 = 0.8167 ( 81.67 % ) E ˙ d = 0.04926   k W

Resposta

ϕ 3 = 0.8167 ( 81.67 % ) E ˙ d = 0.04926   k W

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