Enunciado

Em velocidades muito baixas, a força de arrasto sobre um objeto é independente da massa específica do fluido. Desse modo, a força, F , sobre uma pequena esfera é uma função somente da velocidade, V , da viscosidade do fluido, μ , e do diâmetro da esfera, D . Use a análise dimensional para determinar como a força de arrasto F depende da velocidade V .

Passo 1

O enunciado nos pede para determinar como a força de arrasto depende da velocidade, fazendo a análise dimensional…Vamos lá!

Utilizando o Teorema Pi de Buckingham vamos fazer a análise dimensional.

Começando separando os parâmetros, temos n = 4 :

F V μ D

Passo 2

Temos uma quantidade mínima de dimensões que podemos escrever esses parâmetros separados no passo anterior: Massa M , comprimento L e tempo t . Colocando as dimensões correspondentes, vamos ter:

F V μ D

M L t 2 L t M L t L

Nosso número de dimensões é r = 3 .

Passo 3

Olhando para nosso quadrinho com as dimensões, vemos que nossos parâmetros repetidos de dimensões é m = 3 . Então já sabemos que r = m .

Calculando a quantidade de grupos adimensionais:

n - m = 1

Agora montando o nosso termo adimensional:

Π 1 = F * V a * μ b * D c

M L t 2 * L t a * M L t b * L c = M 0 * L 0 * t 0

Fazendo a análise dos expoentes a , b e c temos:

M :   1 + b = 0

L : 1 + a - b + c = 0

t : - 2 - a - b = 0

Resolvendo esse sisteminha fofo, teremos:

a = - 1 b = - 1 c = - 1

Passo 4

Show! Nossa equação então ficará:

Π 1 = F * V a * μ b * D c

Π 1 = F * V - 1 * μ - 1 * D - 1

Π 1 = F * 1 V * 1 μ * 1 D

Π 1 = F V μ D

Passo 5

Temos então a relação da força de arrasto, F , com a velocidade, V proporcionais!

Terminamos!!

Resposta

Π 1 = F V μ D

A força de arrasto é proporcional à velocidade.

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