Para cada uma das funções abaixo, determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava para cima e para baixo. Determine as (possíveis) assíntotas e, finalmente, faça um esboço do gráfico da função.

j )   f x = e - x - e - 2 x

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos deu essa função aqui

f x = e - x - e - 2 x

E pediu para determinarmos várias coisas! Aqui vou fazer um resumo de cada uma dessas coisas e como encontramos cada uma delas:

  • Pontos críticos: pontos onde a derivada é nula
  • Máximos e mínimos locais: pontos onde a derivada apresenta troca de comportamento (de positivo/negativo para negativo/positivo)
  • Intervalos de crescimentos e decrescimento: crescimento – intervalo onde a derivada é positiva, decrescimento – intervalo onde a derivada é negativa
  • Pontos de inflexão: onde a segunda derivada é zero
  • Concavidade da função: côncava para cima – derivada segunda positiva; côncava para baixo – derivada segunda negativa;
  • Assíntotas verticais: pontos em que o denominador da função é zero; Assíntotas horizontais: comportamento da função quando x → ± ∞

Anota aí!

E é tudo isso que vamos fazer! Vamos começar analisando as assíntotas, depois analisando a derivada primeira, a derivada segunda e por fim construir esse gráfico bem bonitão!

Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa função é

f x = e - x - e - 2 x

Existir assíntota vertical depende de termos uma descontinuidade da função. Vemos que nossa função é uma diferença entre exponenciais, e sabemos que elas são bem-comportadas, então aqui não temos assíntotas verticais

beleza?

Para verificar assíntotas horizontais precisamos calcular o limite da função quando x → ± ∞ , beleza? Vamos começar com x → + ∞  

lim x → + ∞ ⁡ e - x - e - 2 x = 0

Olhando para o + ∞ temos que a função tende ao valor 0! então aqui temos uma assíntota horizontal em y = 0 . Fazendo de forma análoga, vamos encontrar e - x - e - 2 x → - ∞ quando x → - ∞ , então temos assíntota horizontal apenas para um dos lados!

bora analisar a derivada primeira?

Passo 3

Agora vamos analisar a derivada f ' ( x ) :

f x = e - x - e - 2 x

f ' x = - e - x + 2 e - 2 x

Os pontos críticos são onde a derivada é zero:

f ' x = 0

- e - x + 2 e - 2 x = 0

2 e - 2 x = e - x

e - x = 1 2

ln ⁡ e - x = ln ⁡ 1 / 2

Achamos um ponto crítico!

x = ln ⁡ 2

Agora para classificar se é ponto de máximo ou mínimo, precisamos analisar o sinal da derivada em torno desses pontos. Se houver troca de sinal, podemos ter duas possibilidades

  1. De negativo para positivo: então esse ponto é de mínimo local
  2. Se positivo para negativo: esse é um ponto de máximo local

A ideia é testar na derivada um valor antes e um valor depois de cada ponto para saber o sinal que f ' assume

Analisando x = ln ⁡ 1 e x = ln ⁡ 3

f ' ln ⁡ 1 > 0

f ' ln ⁡ 3 < 0

Assim podemos classificar o ponto crítico:

x = 0 : m á x i m o   l o c a l

Agora vamos ver o último quesito que envolve a derivada: intervalo de crescimento e decrescimento!

Temos que a função é crescente quando a derivada é positiva, então nesse caso

c r e s c e n t e : ( - ∞ , l n   2 )

E decrescente onde ela é negativa:

d e c r e s c e n t e : ( l n   2 , + ∞ )

Tudo bem até aqui?

Bora para a análise da derivada segunda!

Passo 4

Agora vamos analisar os aspectos que envolvem a derivada segunda! Com a derivada segunda podemos encontrar os pontos de inflexão, ou seja, os pontos onde a concavidade da função muda!

A ideia é análoga ao da derivada primeira: pegar a derivada segunda, igualar a zero e encontrar os pontos que satisfazem isso. Por fim, analisar o sinal da f ' ' ( x ) em torno desses pontos e encontrar a concavidade da função

  1. Derivada segunda positiva: função côncava para cima
  2. Derivada segunda negativa: função côncava para baixo

Beleza?

Vamos resgatar a derivada primeira do passo anterior:

f ' x = - e - x + 2 e - 2 x

E derivar novamente

f ' ' x = e - x - 4 e - 2 x

Igualando a zero temos:

e - x - 4 e - 2 x = 0

4 e - 2 x = e - x

e - x = 1 4 → x = ln ⁡ 4

Encontramos uma solução: então temos um ponto de inflexão! Para saber qual é a troca da concavidade, vamos testar valores em torno desse ponto na derivada segunda!

Em resumo temos

c ô n c a v a   p a r a   c i m a :   ( l n   4 ,   + ∞ )

c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : - ∞ , l n   4

Beleza? Estamos quase lá!

Bora para o gráfico?

Passo 5

Nosso passo final é reunir todas as informações e esboçar o gráfico da função!

  • f x = e - x - e - 2 x
  • f 0 = 0
  • p o n t o s   c r í t i c o s : x = ln ⁡ 2 ( m á x i m o   l o c a l )
  • c r e s c e n t e : - ∞ , ln ⁡ 2 ; d e c r e s c e n t e : ( ln ⁡ 2 , + ∞ )
  • x = ln ⁡ 4 :   p o n t o   d e   i n f l e x ã o
  • c ô n c a v a   p a r a   c i m a :   ( ln ⁡ 4 ,   + ∞ )
  • c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : - ∞ , ln ⁡ 4
  • y = 2 :   a s s í n t o t a   h o r i z o n t a l ;
  • s e m   a s s í n t o t a s   v e r t i c a i s  

E nosso gráfico ficou assim:

Ufa terminamos!

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

p o n t o s   c r í t i c o s : x = ln ⁡ 2 ( m á x i m o   l o c a l )

c r e s c e n t e : - ∞ , ln ⁡ 2 ; d e c r e s c e n t e : ( ln ⁡ 2 , + ∞ )

x = ln ⁡ 4 :   p o n t o   d e   i n f l e x ã o

c ô n c a v a   p a r a   c i m a :   ( ln ⁡ 4 ,   + ∞ )

c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : - ∞ , ln ⁡ 4

y = 2 :   a s s í n t o t a   h o r i z o n t a l ;

s e m   a s s í n t o t a s   v e r t i c a i s  

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