Esboce o gráfico da função e dê explicitamente o que se pede:

• Domínio de
• Paridade de
• Equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico
• Intervalos de em que é contínua
• Pontos de em que a tangente ao gráfico é vertical
• Intervalos de onde é crescente e onde é decrescente
• Extremos relativos de e os respectivos pontos de onde ocorrem
• Intervalos onde a concavidade do gráfico é para cima, onde é para baixo e seus pontos de inflexão;
• Extremos absolutos de e os respectivos pontos de onde ocorrem;
• Imagem de

A função não é par, pois .

A função é ímpar, porque . Observe:

As assíntotas verticais ocorrem quando a função se aproxima dos pontos onde o domínio não está definido. Para essa função, esses pontos não existem, logo também não existem assíntotas verticais.

Já as assíntotas horizontais, ocorrem com a tendência do limite de no infinito. Usando os limites para , achamos o seguinte:

Como os dois limites foram para infinito, a função não tem assíntotas horizontais.

A continuidade da função depende do domínio dela. Onde não existirem descontinuidades no domínio ela será contínua. Assim, é contínua em .

Os pontos onde a tangente ao gráfico é vertical são aqueles pontos onde a derivada não está definida. Como

não há nenhum ponto em que a derivada não está definida. Logo, a função não possui reta tangente vertical ao gráfico.

Para definir se ela é crescente ou decrescente, temos que analisar o sinal da derivada: onde é positiva, cresce; onde é negativa, decresce. Já temos a derivada:

Agora temos que analisar o sinal da derivada. Pra isso, vamos lembrar de um coisa. Você sabe que o valor mínimo da função cosseno é , certo?. Então, consequentemente, o valor mínimo de seria

Portanto, se o menor valor é zero, todos os outros valores são maiores que zero, ou seja, positivos. Concluímos, então, que a derivada de é sempre positiva e a função é crescente em todo seu domínio.

Os extremos relativos são os máximos e mínimos locais. Para achá-los, primeiro temos que determinar os pontos críticos, fazendo .

Nesse caso, não há tal que , logo não pontos críticos e não há extremos relativos.

Definimos a concavidade de acordo com o sinal da segunda derivada: se for positiva, concavidade para cima; se negativa, para baixo. Vamos calcular a derivada segunda então!

Agora, analisando o sinal, temos que

• (Concavidade para cima) no intervalo
• (Concavidade para baixo) no intervalo

OBS:

Então, e são pontos de inflexão.

Para pensar em extremos absolutos temos que analisar se os limites da função para são maiores, menores ou iguais aos extremos relativos.

Como a função não possui extremos relativos e , ela não possui extremos absolutos.

A imagem de consiste em todos os valores que ela pode assumir.

Como ,

Agora juntamos todas as informações para esboçar o nosso gráfico.