Esboce os gráficos das funções dadas a seguir:

e)

f x = ln ⁡ 4 - x 2

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função f x e nos pede esboçar o seu gráfico.

Para isso, temos que determinar o domínio da função, encontrar as intersecções nos eixos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, entre várias coisas.

Assim, vamos determinar uma característica dessas em cada passo, combinadinho?

Agora vamos lá!!

😉

Passo 2

Então... vamos verificar primeiro o domínio da função.

Para isso, precisamos considerar os valores de x para os quais a função está definida.

Vemos l n ⁡ ( x ) está definida apenas para valores de x maiores que zero, ou seja:

4 - x 2 > 0 ∴

- 2 < x < 2

Passo 3

Para encontrarmos a intersecção como eixo x , fazemos f x = 0 :

ln ⁡ 4 - x 2 = 0 ∴

4 - x 2 = 1

x = ± 3

Para encontrarmos a intersecção como eixo y , fazemos x = 0 :

y = ln ⁡ 4 - 0 2 ∴

y = 1,386

Passo 4

Para verificarmos se f x tem simetria, temos que saber que:

  • Simetria Par: Uma função f ( x ) é simétrica em relação ao eixo y se para todo x no domínio de f , tivermos f ( - x ) = f ( x ) ;
  • Simetria Ímpar: Uma função f ( x ) é simétrica em relação ao eixo y se para todo x no domínio de f , tivermos f - x = - f ( x ) .

Fazendo f - x , temos:

f - x = ln ⁡ 4 - - x 2 ∴

f - x = ln ⁡ 4 - x 2

Logo, vemos que f x tem simetria par.

Passo 5

Para determinar se há assíntotas horizontais, analisamos o comportamento da função à medida que x se aproxima de infinito ou menos infinito. Assim, não há assíntotas horizontais.

A função tem uma assíntota vertical em x = 2 e x = - 2 porque 4 - x 2 ​ se aproxima de zero à medida que x se aproxima desses valores.

Passo 6

Para verificar os intervalos de crescimento e decrescimento da função, vamos derivar a função e depois igualar a zero.

d d x ln ⁡ 4 - x 2 = - 2 x 4 - x 2

- 2 x 4 - x 2 = 0 ∴

x = 0

Assim, observamos que:

f x   c r e s c e   p a r a   - ∞ , - 2 f x   c o n s t a n t e   p a r a - 2,2 f x   d e c r e s c e   p a r a   2 , ∞

Passo 7

Para verificarmos os pontos de máximo e mínimo, temos que verificar a segunda derivada:

f ' ' x = - 2 4 + x 2 4 - x 2 2

Pelo passo 6, descobrimos que x = 0 é um ponto crítico. Dessa forma, substituindo na derivada segunda, temos:

f ' ' 0 = - 2 4 + 0 2 4 - 0 2 2 = - 1 2

Fazendo f 0 :

f 0 = ln ⁡ 4

Logo, vemos que trata-se de um máximo local no ponto ln ⁡ ( 4 ) ,   0 .

Passo 8

Com base nessas informações, podemos plotar o gráfico:

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

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