Use o roteiro a seguir para esboçar o gráfico

  • Dê o domínio de f
  • Estude os intervalos onde f é crescente ou decrescente, destacando os pontos críticos
  • Encontre os máximos ou mínimos locais ou absolutos, se existirem
  • Estude a concavidade, destacando os pontos de inflexão
  • Encontre as assíntotas horizontais ou verticais, se existirem
  • Esboce o gráfico

y = x 2 - 4 x 2 - 2 x

Passo 1

O primeiro passo é definir o domínio D   de f , isto é, o conjunto dos valores de x para os quais f ( x ) está definida. Temos neste caso que o denominador não é definido se for igual a zero, então podemos escrever que:

x 2 - 2 x ≠ 0 ⇒ x x - 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 0         e         x ≠ 2

Assim, temos que:

D = { x ∈ I R |   x ≠ 0       e   x ≠ 2 }

Passo 2

Agora devemos definir as intersecções com os eixos. Para o eixo y a interseção é dada por f ( 0 ) e para o eixo x fazemos y = 0 e isolamos o x .

Assim, temos que:

f 0   n ã o   e s t á   d e f i n i d a

0 = x 2 - 4 x 2 - 2 x ⇒ ( x - 2 ) x + 2 x ( x - 2 ) = 0 ⇒ x + 2 x = 0 ⇒ x + 2 = 0 ⇒ x = - 2

Passo 3

Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:

  1. Se f - x = f ( x ) para todo x em D , f é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo y . Caso isso ocorra basta refletir a curva x ≥ 0 em torno do eixo y para obter a curva completa.
  2. Se f - x = - f x para todo x em D , f é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem. Caso isso ocorra basta girar a curva x ≥ 0   em 180   g r a u s em torno da origem para obter a curva completa.
  3. Se f x + p = f ( x ) para todo x em D , onde p é uma constante positiva, f é uma função periódica e o menor desses números p é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.

Para esta função, tomando x = 1 :

  1. f - 1 = f 1 ⇒ - 1 2 - 4 - 1 2 - 2 ( - 1 ) = 1 2 - 4 1 2 - 2 ( 1 ) ⇒ - 1 ≠ 3
  2. f - 1 =   - f 1 ⇒ - 1 2 - 4 - 1 2 - 2 - 1 = - 1 2 - 4 1 2 - 2 1 ⇒ - 1 ≠ - 3
  3. Não possui período.

Logo como não satisfaz nenhum dos casos, f não possui simetria.

Passo 4

Devemos verificar agora se a função f possui assíntotas:

  1. Assíntota horizontal:
  2. Se f x = L     e f x = L   ,     então a reta y = L é uma assíntota horizontal da curva y = f ( x ) .

    Se resultar que f x = ∞   ( o u - ∞ )   , então não temos uma assíntota à direita.

  3. Assíntota vertical: a reta x = a é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira:

f x = ∞                                                         f x = ∞    

f x =   - ∞                                                   f x =   - ∞    

Temos:

x 2 - 4 x 2 - 2 x = x 2 1 - 4 x 2 x 2 1 - 2 x     = 1 - 4 x 2 1 - 2 x     = 1

x 2 - 4 x 2 - 2 x = 1 - 4 x 2 1 - 2 x = 1    

Assim, temos uma assíntota horizontal em 1 .

Tomando x = 0 , temos:

x 2 - 4 x 2 - 2 x = ( x - 2 ) ( x + 2 ) x ( x - 2 ) = x + 2 x = x 1 + 2 x x =   1 + 2 x = ∞        

Logo 0 é assíntota vertical.

Tomando x = 2 , temos:

x 2 - 4 x 2 - 2 x = ( x - 2 ) ( x + 2 ) x ( x - 2 ) = x + 2 x = x 1 + 2 x x =   1 + 2 x = 2        

Logo, 2 não é uma assíntota vertical.

Passo 5

O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função. Calculamos f ' ( x ) e encontramos os intervalos nos quais f ' ( x ) é positiva ( f é crescente) e os intervalos nos quais f ' ( x ) é negativa ( f é decrescente) .

Aplicando a regra do quociente na forma simplificada da função y = x + 2 x , temos:

f ' x = x - ( x + 2 ) x 2 = - 2 x 2 < 0     [ x ≠ 0,2 ]

Logo, f é crescente para ( - ∞ , 0 ) , ( 0,2 ) e 2 , ∞ .

Passo 6

Calcularemos agora os pontos críticos, números c em que f ' c = 0 ou f ' c n ã o   e x i s t e . Aplicando o Teste da Derivada, se f ' ( x ) muda de positiva para negativa em um número crítico c , então f ( c ) é um máximo local. Se f ' ( x ) muda de negativa para positiva em c , então f ( c ) é um mínimo local.

Temos que:

f ' x = 0 ⇒ - 2 x 2 = 0    

Observamos que a equação é satisfeita para x = 0 e esse ponto não está definido na função, logo a função não possui pontos extremos.

Passo 7

Calcularemos agora a concavidade da função f utilizando f ' ' ( x ) . Se f ' ' x > 0 a função é côncava para cima e se f ' ' x < 0 a função é côncava para baixo.

Assim temos que:

f ' ' x = 4 x 2 > 0  

Então f é côncava para cima com x no intervalo de ( - ∞ , 0 ) e côncava para baixo com x no intervalo de ( 2 , ∞ ) .

Passo 8

Por fim, esboçando a curva obtemos:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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