Use o roteiro a seguir para esboçar o gráfico

• Dê o domínio de
• Estude os intervalos onde é crescente ou decrescente, destacando os pontos críticos
• Encontre os máximos ou mínimos locais ou absolutos, se existirem
• Estude a concavidade, destacando os pontos de inflexão
• Encontre as assíntotas horizontais ou verticais, se existirem
• Esboce o gráfico

Agora devemos definir as intersecções com os eixos. Para o eixo a interseção é dada por e para o eixo fazemos e isolamos o .

Assim, temos que:

Logo a função passa pela origem.

Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:

1. Se para todo em , é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo . Caso isso ocorra basta refletir a curva em torno do eixo para obter a curva completa.
2. Se para todo em , é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem. Caso isso ocorra basta girar a curva em em torno da origem para obter a curva completa.
3. Se para todo em , onde é uma constante positiva, é uma função periódica e o menor desses números é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.

Tomando temos:

3. Não possui período.

Logo a função não possui simetria.

Devemos verificar agora se a função possui assíntotas:

1. Assíntota horizontal:

Se então a reta é uma assíntota horizontal da curva .

Se resultar que , então não temos uma assíntota à direita.

2. Assíntota vertical: a reta é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira:

Temos:

Assim, não há assíntota horizontal .

Tomando , temos:

Logo, temos uma assíntota vertical em .

O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função. Calculamos e encontramos os intervalos nos quais é positiva ( é crescente) e os intervalos nos quais é negativa ( é decrescente) .

Derivando temos:

Então, , assim é decrescente em e e crescente em .

Calcularemos agora os pontos críticos, números em que ou . Aplicando o Teste da Derivada, se muda de positiva para negativa em um número crítico , então é um máximo local. Se muda de negativa para postiva em , então é um mínimo local.

Temos que:

Observamos que a equação é satisfeita para e esse ponto não está definido na função, logo não possui é um ponto crítico; e para , o qual pode ser. Vamos então analisar um ponto antes e depois dele:

Logo a função descresce antes de e cresce depois dele, sendo então um ponto de mínimo.

Calcularemos agora a concavidade da função utilizando . Se a função é côncava para cima e se a função é côncava para baixo.

Assim temos que:

Então é côncava para baixo com no intervalo de e côncava para cima com nos intervalos e .

Por fim, esboçando a curva obtemos: