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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

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Enunciado

Coordenadas cilíndricas

Calcule

∭ E   x y z d V

Onde E é o sólido limitado pelos paraboloides

z = x 2 + y 2

z = 8 - x 2 - y 2

Passo 1

Vamos começar desenhando esse sólido, para poder montar o problema. Temos dois paraboloides, um virado para cima e um para baixo, dessa forma:

A região E do problema é a que fica entre as duas superfícies.

Passo 2

Agora vamos escrever matematicamente essa região. Bom, como temos um cone e o sólido tem simetria em relação ao eixo z , vamos usar coordenadas cilíndricas, ok? Temos:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = z

J = r

Substituindo as coordenadas cilíndricas na equação de cada paraboloide:

z = x 2 + y 2 = r cos ⁡ θ 2 + r   s e n   θ 2 = r 2

z = 8 - x 2 - y 2 = 8 - r 2

Então, como z varia entre uma superfície e a outra, podemos escrever r 2 ≤ z ≤ 8 - r 2 . Como temos uma volta completa em torno do eixo z , 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Agora falta o intervalo de r , que vai desde r = 0 (no eixo z ) até onde as superfícies se encontram. Fazendo a intersecção delas, temos:

z = r 2 = 8 - r 2

2 r 2 = 8

r = 2

Logo, o valor máximo de r é 2 , o que nos dá 0 ≤ r ≤ 2 .

Assim, a região é a seguinte:

E = r , θ , z 0 ≤ θ ≤ 2 π ;   r 2 ≤ z ≤ 8 - r 2 ; 0 ≤ r ≤ 2  

Passo 3

Beleza, agora vamos escrever a integral em coordenadas cilíndricas:

∭ E   x y z d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 2 8 - r 2 r cos ⁡ θ r   s e n   θ z   r   d z d r d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 2 8 - r 2 s e n   θ cos ⁡ θ z   r 3   d z d r d θ =

Passo 4

Agora é só resolver isso aí!

= ∫ 0 2 π ∫ 0 2 z 2 2 s e n   θ cos ⁡ θ   r 3 r 2 8 - r 2 d r d θ =

= 1 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 s e n   θ cos ⁡ θ 8 - r 2 2 - r 4 r 3 d r d θ =

= 1 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 s e n   θ cos ⁡ θ 64 - 16 r 2 + r 4 - r 4 r 3 d r d θ =

= 1 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 s e n   θ cos ⁡ θ 64 - 16 r 2 r 3 d r d θ =

= 1 2 ∫ 0 2 π s e n   θ cos ⁡ θ 16 r 4 - 16 r 6 6 0 2 d θ =

= 256 6 ∫ 0 2 π s e n   θ cos ⁡ θ d θ =

= 256 12 s e n 2 θ 0 2 π =

= 0

Resposta

0

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Identifique a superfície de acordo com a equação dada. r = 2 s e nθ
Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada. 2 r 2 + z 2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )