Calcule as seguintes integrais:

c) ∭ E x 2 d x d y d z , onde E é o sólido limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 , pelo cone z 2 = 4 x 2 + 4 y 2 e contido no semiespaço z ≥ 0 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral tripla na região E , que é limitada pelo pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 , pelo cone z 2 = 4 x 2 + 4 y 2 e contido no semiespaço z ≥ 0 . Seria isso aqui:

Repare que a região tá dentro do cilindro e entre o plano z ≥ 0 e o cone. Então, vamos precisar usar as coordenadas cilíndricas pra facilitar nossa vida. Lembra delas? Elas são dadas pelas relações:

x = r cos ⁡ θ y = r sin ⁡ θ z = z

Então, vamos analisar o enunciado e traduzir as informações que ele nos deu em coordenadas cilíndricas.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos primeiro traduzir a informação de que a região está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 , usando x = r cos ⁡ θ e y = r s in ⁡ θ :

x 2 + y 2 ≤ 1 → r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ ≤ 1

Como cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , temos:

r 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ ≤ 1

r 2 ≤ 1 → 0 ≤ r ≤ 1

Agora sabendo que a região está entre o plano z = 0 e o cone z 2 = 4 x 2 + 4 y 2 , temos:

0 ≤ z 2 ≤ 4 x 2 + 4 y 2

0 ≤ z 2 ≤ 4 r 2 → 0 ≤ z ≤ 2 r

E como não temos nenhuma restrição para o ângulo, temos:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Substituindo os limites de integração, vamos ter:

∭ E x 2 d x d y d z = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 2 r r cos ⁡ θ 2 r d z d r d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 2 r r 3 cos 2 ⁡ θ d z d r d θ

Integrando em relação a z :

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 cos 2 ⁡ θ z 0 2 r d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r 4 cos 2 ⁡ θ d r d θ

Integrando agora em relação a r :

∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ 2 r 5 5 0 1 d θ

= 2 5 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ d θ

Antes de integrar em relação a θ , vamos usar a identidade cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ ( 2 θ ) 2 :

2 5 ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ

Integrando agora:

= 2 5 1 2 θ + 1 4 sin ⁡ 2 θ 0 2 π

Aplicando os limites de integração:

2 5 π + 1 4 sin ⁡ ( 4 π ) - 0 + 1 4 sin ⁡ ( 0 )

= 2 π 5

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

2 π 5

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Identifique a superfície de acordo com a equação dada. r = 2 s e nθ
Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada. 2 r 2 + z 2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )