Coordenadas cilíndricas
Considere o campo e seja a superfície do cone dado por com .
Calcule o volume do cone sólido dado por
Usando a integral tripla.
Passo 1
Como a questão pede o volume do cone, sabemos que queremos isso aqui:
Onde é a região limitada pelo cone descrito do problema e o plano .
Passo 2
Como a equação do cone apresenta termos quadráticos e a região tem simetria em relação ao eixo , vamos fazer a substituição para coordenadas cilíndricas. Faremos:
Passo 3
Agora, precisamos descobrir os intervalos de integração. A mudança para coordenadas cilíndricas nos dá:
Temos, então, variando entre (cone) e o plano .
Como o sólido está envolta do seu eixo de simetria , sabemos que varia de a , o que podemos ver pelo fato de a equação do cone ser independe de .
Agora precisamos descobrir o intervalo de . Como o sólido envolve o eixo , sabemos que , mas qual o seu valor máximo? O outro limite ocorre quando , onde temos a maior circunferência do cone, então, vamos substituir esse valor na sua equação:
A região pode, então, ser escrita como:
Passo 4
Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:
Passo 5
Integrando em relação a , temos:
Passo 6
Agora, integramos em relação a :
Passo 7
Finamente, integramos em relação a :