Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 15 – Seção 7 – Exercício 22
(Capítulo 15.7 – Exercício 22) Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
O sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e
Passo 1
Faaala pessoal, vamos lá pra mais uma!
Queremos usar a integral tripla pra calcular o volume do sólido. E esse sólido é limitado pelo cilindro e pelos planos e
Então pensa num cilindro ao longo do eixo e com raio de base igual a Pensou? Ok!
Esse cilindro vai ser delimitado em cima e embaixo pelos planos e . Ou seja, embaixo ele vai ser cortado por um plano horizontal e em cima por um plano inclinado. Show?
Precisamos entender primeiramente qual o domínio que estamos trabalhando, ok? Podemos fazer isso analisando os limitadores do sólido e aí vendo com qual tipo de região estamos lidando
Vamos lá
Passo 2
Analisando em relação ao eixo , considerando que a direção pra cima é a positiva, então, o nosso sólido é limitado acima pelo plano e abaixo pelo plano . Além disto, ele é limitado lateralmente pelo plano , certo?
Isto implica no fato que temos uma região do tipo II, que em variam entre duas funções e são limitadas por uma área no plano . Portanto, temos:
E em vamos ter os seguintes limites de integração, definidos pela expressão dos cilindros
E em , os limites são definidos pelo raio, que é igual a .
Então, temos que resolver essa integral aqui
Então boraaa!
Passo 3
Observem que, no plano temos uma circunferência . Vamos escrever então, ao invés de coordenadas e , no sistema de coordenadas polares. Portanto,
Fazendo esta mudança, temos a seguinte integral:
Passo 4
Precisamos começar integrando a variável Portanto,
Passo 5
Agora, precisamos integrar em relação a . Logo,
Passo 6
Por fim, basta integrarmos em relação a .
Então, o volume do sólido é