- Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido limitado por:
-
, , , , no primeiro octante.
Passo 1
Cara! Calculo de volume a esse altura do campeonato pra gente é uma integral tripla de :
Não temos uma boa visualização desse sólido por isso sempre é bom começar por aqui
Relaxa, pois fazer isso nada mais é do que desenhar todas essas superfícies aí ao mesmo tempo! Quando fazemos isso, a superfície que ganhamos no espaço é esta daqui, oh:
Pegou? :D
Passo 2
Não trabalhamos com esse sólido dessa forma, por isso, a ideia aqui sempre será partir para a descrição dele. Nesse caso, cabe o , onde temos o variando de uma “base” até um “teto”
Quanto ao e ao , olhemos para a projeção do sólido no plano . Bora?
Passo 3
Pow, qual é a projeção desse sólido no plano ?
Concorda que é simplesmente o arco de círculo:
E podemos descrever essa região aí em coordenadas polares né? Nesse caso, teremos:
E os limites ficam:
Passo 4
Lembrando que estamos usando coordenadas cilíndricas, então:
Consequentemente isso vai alterar nossos limites de ! Se liga:
Passo 5
Bem, agora é só montar a integral tripla e correr para o abraço!
Lembre-se que na integral mais interna, fica a que tem mais variável, no caso o :
Integrando o de dentro e substituindo os limites de integração
Calculando a integral do meio