O volume do sólido interno ao cilindro , e limitado pelas superfícies e é:
Escolha uma:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Queremos calcular um volume de uma região entre duas superfícies e dentro de um cilindro. A gente pode fazer isso usando a integral tripla:
Sendo que é o sólido.
Vamos olhar essas superfícies
Isso é um paraboloide virado para cima, e que tem seu mínimo em .
Isso é um plano.
Isso é um cilindro de raio e centro
Aí colocando num gráfico:
Bora ver como fazer isso!
Passo 2
A gente tem que descrever o domínio , que é essa região limitada nas laterais pelo cilindro né? Como ela tem esse formato, nada mais justo que a gente fazer isso usando a mudança de coordenadas cilíndricas.
Isso significa que a gente vai aplicar as transformações:
Então para escrever os extremos de integração, limitamos essas variáveis que a gente tem: e .
Vamos começar observando a variável . Nesse eixo, vemos que nossa região está limitada por baixo pelo paraboloide e por cima pelo plano. Então podemos escrever:
Já passando isso para as coordenadas cilíndricas:
Passo 3
E e ? Definir elas é parecido com definir uma região em por coordenadas polares. A gente viu que estamos dentro do cilindro:
Substituindo nossas transformações nessa equação:
Como e não há mais restrições para usarmos, podemos assumir:
Belezinha?
Obs: a gente também podia limitar essas variáveis desse passo olhando o esboço da região dentro de em . Aí fica mais a seu critério mesmo.
Passo 4
Agora é montar a integral. Primeiro a gente substitui nossa transformação no nosso integrando:
Depois a gente o multiplica por
Aí a gente pode colocar nossos extremos de integração:
Passo 5
Bora calcular essa belezura:
Resposta
Letra c