O volume do sólido interno ao cilindro x 2 + y 2 = 2 , e limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 - 3 e z = 4 - x é:

Escolha uma:

a) 4 π

b) 8 π

c) 12 π

d) 10 π

e) 6 π

Passo 1

Queremos calcular um volume de uma região entre duas superfícies e dentro de um cilindro. A gente pode fazer isso usando a integral tripla:

∫ ∫ ∫ V 1 d x d y d z

Sendo que V é o sólido.

Vamos olhar essas superfícies

z 1 = x 2 + y 2 - 3

Isso é um paraboloide virado para cima, e que tem seu mínimo em z = - 3 .

z 2 = 4 - x

Isso é um plano.

x 2 + y 2 = 2

Isso é um cilindro de raio 2 e centro ( 0,0 ) .

Aí colocando num gráfico:

Bora ver como fazer isso!

Passo 2

A gente tem que descrever o domínio V , que é essa região limitada nas laterais pelo cilindro né? Como ela tem esse formato, nada mais justo que a gente fazer isso usando a mudança de coordenadas cilíndricas.

Isso significa que a gente vai aplicar as transformações:

x = r cos ⁡ θ ,     y = r   s e n   θ ,     z = z

x 2 + y 2 = r 2

j a c = r

Então para escrever os extremos de integração, limitamos essas variáveis que a gente tem: z ,   θ e r .

Vamos começar observando a variável z . Nesse eixo, vemos que nossa região está limitada por baixo pelo paraboloide e por cima pelo plano. Então podemos escrever:

x 2 + y 2 - 3 ≤ z ≤ 4 - x

Já passando isso para as coordenadas cilíndricas:

r 2 - 3 ≤ z ≤ 4 - r cos ⁡ θ

Passo 3

E θ e r ? Definir elas é parecido com definir uma região em x y por coordenadas polares. A gente viu que estamos dentro do cilindro:

x 2 + y 2 = 2

Substituindo nossas transformações nessa equação:

r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ = 2 ∴ r 2 cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 2

r 2 1 = 2 ∴ r = ± 2

Como r ≥ 0 e não há mais restrições para usarmos, podemos assumir:

0 ≤ r ≤ 2 ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

Belezinha?

Obs: a gente também podia limitar essas variáveis desse passo olhando o esboço da região dentro de x 2 + y 2 = 2 em x y . Aí fica mais a seu critério mesmo.

Passo 4

Agora é montar a integral. Primeiro a gente substitui nossa transformação no nosso integrando:

x = r cos ⁡ θ ,   y = r   s e n   θ ,   z = z

∫ ∫ ∫ V 1 d x d y d z

∫ ∫ ∫ V 1 d z d r d θ

Depois a gente o multiplica por j a c = r

∫ ∫ ∫ V r d z d r d θ

Aí a gente pode colocar nossos extremos de integração:

r 2 - 3 ≤ z ≤ 4 - r cos ⁡ θ

0 ≤ r ≤ 2 ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 2 - 3 4 - r cos ⁡ θ r d z d r d θ

Passo 5

Bora calcular essa belezura:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 2 - 3 4 - r cos ⁡ θ r d z d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 4 - r cos ⁡ θ - r 2 + 3 d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 2 7 r - r 2 cos ⁡ θ - r 3 d r d θ

∫ 0 2 π 7 2 r 2 - r 3 3 cos ⁡ θ - r 4 4 0 2 d θ = ∫ 0 2 π 7 2 ⋅ 2 - 2 2 3 cos ⁡ θ - 4 4 d θ

∫ 0 2 π 6 - 2 2 3 cos ⁡ θ d θ = ∫ 0 2 π 6 d θ - 2 2 3 ∫ 0 2 π cos ⁡ θ d θ = 2 π - 0

V = 2 π

Resposta

Letra c

Exercícios de Livros Relacionados

Identifique a superfície de acordo com a equação dada. r = 2 s e nθ
Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada. 2 r 2 + z 2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )