Usando uma integral tripla, calcule o volume do sólido delimitado pelas superfícies 1 2 x 2 + 1 2 y 2 + z 2 = 2 e z = 1 2 x 2 + y 2 .

Passo 1

Eita, questão de integral tripla? Enrolado né? Mas calma gafanhoto, vamos tirar de letra. Pra começo de conversa, vamos olhar as superfícies:

1 2 x 2 + 1 2 y 2 + z 2 = 2  

z = 1 2 x 2 + y 2

Conhecer os tipos de superfície aqui ajudam muito a gente. Veja que na primeira equação, quando colocamos z = 0 temos a equação de um círculo no plano x y e quando colocamos x = 0 e y = 0 , a de uma elipse nos planos y z e x z respectivamente. Sendo assim, a primeira equação nada mais é do que um elipsoide:

Já pra segunda equação, quando fazemos z = 0 , ficamos um uma equação de um círculo de raio zero, logo, temos a origem!. Ao fazermos x = 0 e y = 0 , achamos equações de parábolas nos planos z y e z x respectivamente. A segunda equação vai ser então de um paraboloide:

E a interseção desses dois carinhas vai ser mais ou menos assim:

Olhando pra cara desse sólido, vemos que uma boa ideia é usar coordenadas cilíndricas! Afinal, se fizermos:

x = r ∙ cos ⁡ θ

y = r ∙ sen ⁡ θ

z = z

A equação do elipsoide vira:

1 2 x 2 + 1 2 y 2 + z 2 = 2

1 2 x 2 + y 2 + z 2 = 2

Substituindo as variáveis:^

1 2 r ∙ cos 2 ⁡ θ + r ∙ sen 2 ⁡ θ + z 2 = 2

1 2 r   ² ∙   sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ + z 2 = 2

1 2 r 2 + z 2 = 2

Escrevendo z = z r e considerando que já sabemos que z > 0 porque não consideramos todo elipsoide mesmo, temos:

z 2 = 2 - 1 2 r 2

z = 2 - 1 2 r 2

E pro paraboloide, a equação fica:

z = 1 2 x 2 + y 2

z = 1 2 r ∙ cos 2 ⁡ θ + r ∙ sen 2 ⁡ θ

z = 1 2 r   ² ∙   sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

z = 1 2 r ²

Como o sólido está definido entre o paraboloide e o elipsoide, vamos ter:

p a r a b o l o i d e < z < e l i p s o i d e

1 2 r 2 < z < 2 - 1 2 r 2

E o volume do sólido será:

V = ∭ E   d V = ∬ D       ∫ 1 2 r 2 2 - 1 2 r 2 r   d z   d r   d θ

Onde o r que surgiu dentro da integral é o Jacobiano da mudança pra coordenadas cilíndricas, os limites de integração são os intervalos de z encontrados e D é a região de integração projetada sobre o plano x y , que vamos ver agora!

Passo 2

Galera, a região de integração D tem que ser pensada de forma a gente ver direitinho os intervalos de integração pras variáveis r e θ , que é o que falta. Se pensarmos que as superfícies tem as seguintes equações:

1 2 x 2 + 1 2 y 2 + z 2 = 2  

z = 1 2 x 2 + y 2

Vemos que uma boa ideia pra entender qual a região D é colocar a segunda equação inteiramente dentro da primeira. Saca só:

1 2 x 2 + y 2 + z 2 = 2

z + z 2 = 2

z 2 + z - 2 = 0

Opa, um polinômio do segundo grau! Sendo então

z 2 + z - 2 = a z 2 + b z + c = a z - z 1 z - z 2 = 0

z 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Calculamos:

z 1,2 = - 1 ± 1 - 4 ∙ 1 ∙ - 2 2 = - 1 ± 1 + 8 2

z 1,2 = - 1 ± 9 2 = - 1 ± 3 2

Como z > 0 , temos que:

z = - 1 + 3 2 = 2 2 = 1

E galera, essa é a altura em que as superfícies se tocam:

Qual vai ser a interseção delas? Bem, eu posso usar o z = 1 dentro da equação de qualquer uma delas pra entender isso. É mais rápido se eu jogar dentro da equação do paraboloide:

z = 1 2 x 2 + y 2

1 2 x 2 + y 2 = 1

x 2 + y 2 = 2

E povo! Olha que bacana, isso nada mais é do que a equação de um círculo de raio 2 ! A gente pode ainda achar matematicamente esse raio se pegarmos a equação do paraboloide em coordenadas cilíndricas:

z = 1 2 r 2 = 1

r 2 = 2

r = 2

Portanto, já temos a variação dos outros parâmetros:

0 < r < 2

0 < θ < 2 π

Onde θ varia assim porque estamos considerando o sólido inteiro, e não só um quarto de volta dele, meia volta dele, etc. O volume fica:

V = ∬ D       ∫ 1 2 r 2 2 - 1 2 r 2 r   d z   d r   d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ 1 2 r 2 2 - 1 2 r 2 r   d z   d r   d θ

Veja que já podemos simplificar essa fórmula um pouco antes de começar as contas, afinal, isso é o mesmo que:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ 1 2 r 2 2 - 1 2 r 2 r   d z   d r   d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ 1 2 r 2 2 - 1 2 r 2 r   d z   d r   d θ

E como dentro de       não tem nenhum termo de θ , aos olhos da integral mais externa, isso nada mais é do que uma graaaandíssima constante. Ou seja:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ 1 2 r 2 2 - 1 2 r 2 r   d z   d r   d θ = θ θ = 0 θ = 2 π       ∙     ∫ 0 2 ∫ 1 2 r 2 2 - 1 2 r 2 r   d z   d r

V = 2 π ∙ ∫ 0 2 ∫ 1 2 r 2 2 - 1 2 r 2 r   d z   d r

Show, vamos então pro próximo passo terminar essa integração ai!

Passo 3

Temos então:

V = 2 π ∙ ∫ 0 2 ∫ 1 2 r 2 2 - 1 2 r 2 r   d z   d r

Vamos integrar quem tá dentro primeiro. Aos olhos de uma integral d z , o r é uma constante! Então vamos ter:

V = 2 π ∙ ∫ 0 2 r ∙ z z = 1 2 r 2 z = 2 - 1 2 r 2   d r

V = 2 π ∙ ∫ 0 2 r ∙ 2 - 1 2 r 2 - 1 2 r 2   d r

V = 2 π ∙ ∫ 0 2 r 2 - 1 2 r 2 - 1 2 r 3   d r

Pra facilitar a vida, podemos separar essa integral em duas, dessa forma ó:

V = 2 π ∙ ∫ 0 2 r 2 - 1 2 r 2   d r - ∫ 0 2 1 2 r 3   d r

Assim, resolvendo a mais simples primeiro, temos:

∫ 0 2 1 2 r 3   d r = r 4 8 r = 0 r = 2 = 4 8 = 1 2

E pra mais complicada, temos que fazer uma substituição simples:

u = 2 - 1 2 r 2 → d u = - r d r → r   d r =   - d u

S e   r = 2 → u = 2 - 1 2 2 2 = 1 S e   r = 0 → u = 2 - 1 2 0 2 = 2

A integral se transforma em:

∫ 0 2 2 r 3 - r 2   d r = - ∫ 2 1 u   d u = ∫ 1 2 u 1 2   d u

Integrando, temos:

∫ 1 2 u 1 2   d u = u 3 2 3 2 u = 1 u = 2 = 2 u   u 3 u = 1 u = 2 = 2 ∙ 2 ∙ 2 3 - 2 ∙ 1 ∙ 1 3 = 4 3 3 - 2 3

Juntando tudo, temos:

V = 2 π ∙ 4 3 3 - 2 3   - 1 2

Feshow!

Resposta

V = 2 π ∙ 4 3 3 - 2 3   - 1 2

Exercícios de Livros Relacionados

Identifique a superfície de acordo com a equação dada. r = 2 s e nθ
Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada. 2 r 2 + z 2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )