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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

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Enunciado

8) A integral tripla

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ 0 4 - r r   d z d r d θ

fornece o volume do sólido S , onde

  1. S é o sólido limitado pelo plano z = 0 e pelas superfícies z = 4 - x 2 + y 2 e x 2 + y 2 = 4 .
  2. é o sólido limitado pelo plano z = 0 e pelas superfícies z = 4 - x 2 - y 2 e x 2 + y 2 = 4
  3. é o sólido limitado pelo plano z = 0 e z = 2 pela superfície x 2 + y 2 = 4 .
  4. é o sólido limitado pelo plano z = 0 e pelas superfícies z = 4 - x 2 + y 2 e x 2 + y 2 = 2 .
  5. é o sólido limitado pelo plano z = 0 e pelas superfícies z = 4 - x 2 - y 2 e x 2 + y 2 = 2 .

Passo 1

Bem, aqui temos que fazer o contrário que normalmente estamos acostumados: voltar para as coordenas cartesianas e dizer qual é o sólido.

Sabemos só de olhar para a integral

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ 0 4 - r r   d z d r d θ

Que se trata de coordenas cilindricas, pois tem o d z , e que, além disso...

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ r ≤ 2

0 ≤ z ≤ 4 - r

Passo 2

Como se trata de coordenadas cilindricas...

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

z = z

e x 2 + y 2 = r 2

Bem, se o r varia de 0 a 2 , significa que o raio máximo é 2 . Como θ dá uma volta completa girando de 0 até 2 π , essas duas coisas juntas indica que estamos dentro do cilindro de raio 2 ...

x 2 + y 2 = 4

Como z ...

0 ≤ z ≤ 4 - r

Trocando essas incógnitas pelas expressões cartesianas...

0 ≤ z ≤ 4 - x 2 + y 2

Logo, z está acima do plano z = 0 e abaixo da superfície z = 4 - x 2 + y 2 .

Logo, só podemos estar falando da letra a .

Resposta

a )  

S é o sólido limitado pelo plano z = 0 e pelas superfícies z = 4 - x 2 + y 2 e x 2 + y 2 = 4

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Identifique a superfície de acordo com a equação dada. r = 2 s e nθ
Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada. 2 r 2 + z 2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )