Calcule o volume do sólido dado por e
Passo 1
Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido:
Temos uma esfera centrada em . Como o cone está expresso na forma e sabemos que a raiz deve ser sempre positiva, a parte a que o enunciado se refere é a folha de cima, com . Temos, então, essa região da figura.
Passo 2
Temos que
Como a região é limitada por uma esfera e um paraboloide, podemos explicitar as curvas de limite de , então vamos usar coordenadas cilíndricas.
Passo 3
Vamos ver quando as duas superfícies se cortam
E temos
Substituindo isso na primeira equação
Eles vão se encontrar em , ou seja,
Trocando os valores de e em coordenadas cilíndricas vamos achar
Então
Fazendo a substituição na equação do paraboloide, temos:
Esse é o limite inferior de .
Vamos substituir na equação da esfera
Esse é o limite superior.
Agora falta a variável . Uma vez que o sólido está envolta do eixo , temos que varia entre e . Então, podemos escrever a região como:
Passo 4
Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:
Passo 5
Integrando em relação a , temos:
Passo 6
Todas são de boa, menos
Fazendo a seguinte substituição
Substituindo na integral vamos encontrar
Voltando para
Passo 7
Vamos ter