Origem do Exercício
Converta a integral abaixo para uma integral equivalente em coordenadas cilíndricas e calcule o resultado.
Passo 1
Vamos começar interpretando as informações que estão na integral do enunciado.
Como é uma integral tripla, ela está percorrendo uma região no espaço, nossa primeira tarefa é descobrir que região é essa.
O está variando no seguinte intervalo:
E para cada um desses valores de , o varia em:
Ok, antes de definirmos o intervalo do , vamos desenhar o que já temos no plano :
Isso já resolve alguns problemas! Temos metade de um círculo de raio , com isso já podemos dizer que:
Lembrando que esse é o ângulo que o raio forma com o eixo .
Agora falta escrever o intervalo do em coordenadas cilíndricas. Aqui nem precisamos pensar demais, é só substituir. Antes tínhamos:
E agora ficamos com:
Passo 2
Ok, os limites de integração já foram, agora faltam duas coisas: primeiro temos que reescrever a função que está sendo integrada:
E em coordenadas cilíndricas:
Segundo, precisamos reescrever os diferenciais . Aqui precisamos usar o famoso “jacobiano”, para as coordenadas cilíndricas, você deve lembrar que ele é:
Pronto! Agora podemos substituir tudo na integral:
Mas precisamos ajeitar a ordem das integrais de forma que as variáveis que dependem de constantes fiquem por último!
Passo 3
Beleza, agora já temos tudo para resolver a integral.
Primeiro integramos em relação a . Nesse caso, se comporta como constante:
E substituindo isso na integral:
Agora podemos integrar em relação a . Nesse caso, é uma constante:
Então:
Agora é só lembrarmos que a integral do é , e o valor final da nossa integral é:
Resposta
A integral em coordenadas cilíndricas é e seu valor é .