Calcule, usando integração, o volume do sólido limitado pelas superfícies , e .
Passo 1
Vamos começar desenhando esse sólido, para poder montar o problema; Temos o semicone cortado pelos planos e :
A região do problema é esse tronco de cone entre os planos azuis e nós queremos o seu volume:
Passo 2
Agora vamos escrever matematicamente essa região. Bom, como temos um cone e o sólido tem simetria em relação ao eixo , vamos usar coordenadas cilíndricas, ok? Temos:
Substituindo as coordenadas cilíndricas na equação do cone, temos:
Beleza, agora vamos pensar nos intervalos e . Como a região dá a volta em torno do eixo , podemos escrever . Como o enunciado mesmo já diz, temos . Beleza.
Agora vamos pensar no intervalo de . Pela figura, vemos que varia desde o eixo , onde até a superfície do cone, onde , então . Temos então:
Passo 3
Beleza, agora vamos escrever a integral em coordenadas cilíndricas:
Agora é só resolver isso aí!