Calcule a massa do sólido dado por

Com densidade

Dá pra ver que o termo aparece em todas as equações apresentadas no enunciado, né? Vamos fazer uma mudança de coordenadas cilíndricas então, vai facilitar muito nossas contas:

Substituindo isso nas nossas superfícies vamos ter que, para a esfera:

E para o elipsoide:

Percebe que vamos ter que dividir nossa região em duas aqui, não tem como fugir disso nessa questão. Em um momento o sólido varia entre e a esfera e em outro momento varia entre o elipsoide e a esfera.

Esse momento aqui tem uma sacada, presta atenção nisso aqui! Nossa integral, substituindo as novas variáveis na densidade e acrescentando o jacobiano fica assim:

Se definirmos os limites de forma a integrar primeiro, como geralmente é feito, perceba que os limites ficariam

Ou seja, não ficaria nada fácil de integrar em depois! Por isso, nessa questão, vamos fazer uma coisa diferente, vamos definir como funções de , é só isolar nas equações da esfera e do elipsoide, fica assim:

Vamos chamar de região aquela que está limitado pelo elipsoide e pela esfera, isso acontece no intervalo de entre e , logo seus limites vão ser:

Por que agora aparece variando entre dois números? Geralmente a gente já faz isso sem perceber até, só que, no jeito mais comum, é o que ficaria variando entre e , por exemplo. No nosso problema, como já definimos variando entre funções de , vai ser que varia entre números!

Vamos fazer o mesmo para a região , já limitamos entre e , falta agora a região em que varia entre e . Nesse caso, olhando pelo gráfico, vemos que o raio varia entre e a esfera. Portanto:

Definidos os limites, vamos reescrever nossa integral:

Integrando em

Da para juntar aqui a segunda integral com parte da primeira! Percebe que aparece limitado por e em nas duas integrais e, em , está limitado por a em seguida por a . Podemos, portanto, juntar esses dois termos em uma só integral que vai de a !

Integrando em

Juntando tudo na mesma integral:

Integrando em