Seja B o sólido determinado pelas determinado pelas desigualdades x 2 + y 2 + z 2 ≤ 18 ,   z ≤ x 2 + y 2   e   z ≥ 0 ,   f uma unção contínua em R 3 e   V = ∬ B f x , y , z   d x   d y   d z . Considere as seguintes afirmações

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 √ 2 ∫ 0 r f r   c o s θ ,   r   s e n θ ,   z r   d z   d r   d θ

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 √ 2 ∫ 0 18 - r 2 f r   c o s θ ,   r   s e n θ ,   z r   d z   d r   d θ

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 ∫ z 18 - z 2 f r   c o s θ ,   r   s e n θ ,   z r   d r   d z   d θ

A(s) afirmação(ões) verdadeira(s) para toda função f como acima é(são):

Passo 1

É bom começarmos entendendo a regição que vamos descrever, certo?

Bom, pra começar vamos aplicar as mudanças propostas pelo próprio enunciado, quando entre todas as opções, ele mostra f r   c o s θ ,   r   s e n θ ,   z , beleza?

Então começamos com:

x 2 + y 2 + z 2 ≤ 18

z 2 + r 2 cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ ≤ 18

z 2 + r 2 ≤ 18

r 2 ≤ 18 - z 2

r ≤ 18 - z 2

Passo 2

A segunda substituição a ser feita será:

z ≤ x 2 + y 2

z ≤ r 2 cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ

z ≤ r

Logo

z ≤ r ≤ 18 - z 2

Passo 3

Agora substituindo a segunda equação na primeira:

x 2 + y 2 + z 2 ≤ 18  

z ≤ x 2 + y 2 → z 2 = x 2 + y 2

z 2 + z 2 ≤ 18

2 z 2 ≤ 18

z 2 ≤ 9

z ≤ 3

Lembrando que o enunciado já nos fala que

z ≥ 0

Com isso já temos todos nossos intervalos, uma vez que pela imagem você consegue ver que na região que estamos trabalhando (abaixo da esfera e do cone) estamos dando uma volta completa. Logo:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Ficamos então com essa integral!

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 ∫ z 18 - z 2 f r   c o s θ ,   r   s e n θ ,   z r   d r   d z   d θ

Resposta

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 ∫ z 18 - z 2 f r   c o s θ ,   r   s e n θ ,   z r   d r   d z   d θ

Exercícios de Livros Relacionados

Identifique a superfície de acordo com a equação dada. r = 2 s e nθ
Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada. 2 r 2 + z 2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )