P5.12 1.10 moles of \mathrm{N}_{2} at 20.5^{\circ} \mathrm{C} and 6.20 bar undergoes a transformation to the state described by 215^{\circ} \mathrm{C} and 1.75 bar. Calculate \Delta S if
O enunciado pede o valor de \Delta S (variação de entropia) para n=1{,}10 mol de \mathrm{N}_2 ao passar do estado inicial para o final. Dados fornecidos:
n = 1{,}10 mol.
Temperatura inicial \;T_1 = 20{,}5^\circ\mathrm{C}. (Vou converter para kelvin mais adiante.)
Pressão inicial \;P_1 = 6{,}20 bar.
Temperatura final \;T_2 = 215^\circ\mathrm{C}.
Pressão final \;P_2 = 1{,}75 bar.
Capacidade calorífica molar à pressão constante dada por
Observação útil: as pressões estão em bar, mas em uma razão \ln(P_2/P_1) as unidades se cancelam, então podemos usar bar diretamente para o cálculo do logaritmo.
Passo 3
Explicar a fórmula que vamos usar (passo a passo didático).
Para um gás ideal, a variação diferencial de entropia molar d\bar{s} é
C_{P,m}(T) é capacidade molar a pressão constante (J mol^{-1} K^{-1}),
R é a constante dos gases ideais (R = 8{,}314462618\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}),
T é temperatura em kelvin,
P é pressão.
Essa expressão vem da identidade termodinâmica para gás ideal: dS = \dfrac{C_P}{T}dT - \dfrac{R}{P}dP. Aqui usamos C_{P,m} porque trabalhamos em base molar.
A variação total de entropia do sistema é \Delta S = n\,\Delta\bar{s}.
Justificativa prática: usa-se o modelo de gás ideal porque \mathrm{N}_2 a temperaturas e pressões dadas (ordem de 1–6 bar, temperaturas moderadas) é bem aproximado por gás ideal num curso típico. Se fossem condições muito críticas ou muito altas pressões, seria necessário usar propriedades reais.
Passo 4
Montar a integral da contribuição térmica e simplificar a integração usando a forma polinomial de C_{P,m}(T).
Escrevemos
Somar as duas contribuições (térmica + pressão) para obter \Delta S:
\Delta S = nI - nR\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right) \approx 16{,}352747 + 11{,}559368 = 27{,}912115\\ \mathrm{J\\ K^{-1}}.
Arredondando com sensatez (dados têm 3 algarismos significativos em pressões e 3 em n), pode-se reportar:
\Delta S \approx 27{,}91\\ \mathrm{J\\ K^{-1}}.
Força aí — acabou! Se quiser, eu mostro com mais casas decimais ou repito a conta usando R=8{,}3145 arredondado, mas o valor acima já é adequado para prova.