P5.13 Calculate
for the isothermal compression of 1.75 mole of
from 2.15 bar to 1250 . bar at 298 K .
bar
, and the density is
. Repeat the calculation assuming that
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
- Quantidade de matéria:
mol. - Estado inicial de pressão:
. - Estado final de pressão:
. - Temperatura:
(processo isotérmico). - Coeficiente de expansão térmica volumétrica:
. - Compressibilidade isotérmica:
(no primeiro item). - Densidade do cobre:
. - O enunciado pede
para a compressão isoterma de mol de de a .
Observação: para calcular o volume molar usei a massa molar do cobre(valor padrão).
Passo 2
Qual a equação que vamos usar (intuição física e matemática):
- A relação termodinâmica útil é a relação de Maxwell que liga derivada de
em relação a a uma derivada de :
- Integrando de
até obtemos
Explicação didática: isso vem das equações de Maxwell (derivadas das equações de estado), e diz que a mudança de entropia com pressão, à temperatura fixa, é controlada por como o volume muda com a temperatura à pressão fixa.
Passo 3
Expressar
em termos de
e expressar
em termos de
:
- Definição do coeficiente de expansão volumétrica:
Breve explicação:
mede a fração de variação do volume por grau de temperatura, à pressão fixa.
- Definição da compressibilidade isotérmica:
Isto é uma equação diferencial simples em
para
. Integrando (assumindo
constante):
onde
é o volume molar na pressão
.
Passo 4
Substituir tudo em
e escrever a fórmula que usaremos (atenção às unidades):
- Substituindo
em :
- Usando
e assumindo e constantes:
- Atenção às unidades de pressão:
e foram dados em bar, então a integral deu um resultado em unidades de . Para obter em unidades de precisamos converter para Joule: e . Assim, quando estiver em bar e em , devemos multiplicar a integral por . - Portanto, a fórmula prática (por mol) é
e a variação total para
mols é
.
Passo 5
Calcular o volume molar inicial
a partir de massa molar e densidade (passo a passo numérico):
- Calcular
em :
Explicando: massa molar sobre densidade dá volume molar.
- Converter para
:
Passo 6
Avaliar numericamente a expressão com
:
- Primeiro calcule
e :
- Calcular o fator exponencial (usar série ou calculadora; aqui uso expansão com precisão suficiente):
- Avaliar o fator
:
Observação: esse valor é praticamente
porque
.
- Agora calcule
:
Passo a passo numérico:
(ou seja
).
- Multiplicar por
para obter :
Passo 7
Repetir a conta supondo
(isto é, volume independente de pressão):
- Se
então constante e a integral é trivial:
- Numericamente:
- Observação física: o efeito de
real versus é muito pequeno aqui porque ; por isso os dois valores ficam muito próximos.