5.13
Deduza a seguinte fórmula para um processo adiabático quaseestático de um gás perfeito, considerando \gamma como constante:
\frac{\theta}{P^{(\gamma-1) / \gamma}}=\text { const. }

Passo 1

O enunciado pede para deduzir a relação
\frac{\theta}{P^{(\gamma-1)/\gamma}} = \text{constante}
para um processo adiabático quaseestático de um gás perfeito, assumindo \gamma constante. Vamos usar a lei dos gases ideais e a condição adiabática.

Passo 2

A lei dos gases ideais é
P\,V = n\,R\,\theta,
onde P é a pressão, V o volume, n o número de mols, R a constante universal dos gases e \theta a temperatura.

Passo 3

Para um processo adiabático reversível (quaseestático) de um gás perfeito vale
P\,V^{\gamma} = C,
sendo C uma constante do processo e \gamma a razão dos calores específicos.

Passo 4

Da lei dos gases ideais isolamos o volume:
V = \frac{n\,R\,\theta}{P}.

Passo 5

Substituímos essa expressão em P\,V^{\gamma}=C:
P \,\Bigl(\frac{n\,R\,\theta}{P}\Bigr)^{\gamma} = C.

Passo 6

Expandindo, temos
P \,\frac{(n\,R)^{\gamma}\,\theta^{\gamma}}{P^{\gamma}} = (n\,R)^{\gamma}\,\theta^{\gamma}\,P^{1-\gamma} = C.

Passo 7

Reagrupando \theta e P:
\theta^{\gamma}\,P^{1-\gamma} = \frac{C}{(n\,R)^{\gamma}} = \text{constante}.
Elevando ambos os lados a 1/\gamma resulta
\theta\,P^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} = \text{constante},
o que é equivalente a
\frac{\theta}{P^{(\gamma-1)/\gamma}} = \text{constante}.

Resposta

\displaystyle \frac{\theta}{P^{(\gamma-1)/\gamma}} = \text{constante}.

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