4.15 Admitindo que
é uma função de
e
, deduza as seguintes equações:
(a)
(b)
(c)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para assumir que a energia interna
é função das variáveis termodinâmicas pressão
e volume
, e daí deduzir três resultados:
(a) a expressão de em termos de derivadas parciais de
;
(b) ;
(c) .
Aqui vamos usar a primeira lei , cadeias de derivadas parciais, e as definições
(a) a expressão de
(b)
(c)
Aqui vamos usar a primeira lei
além de
Passo 2
Para (a), começamos pelo diferential de
como função de
:
Pela primeira lei temos
e, para trabalho de expansão,
. Logo
Isto prova a parte (a).
Passo 3
Para (b), fixamos
. Então em um processo isocórico
e também
. De (a) com
vem
Igualando as expressões de
:
Passo 4
Ainda para (b), calculamos
via relação cíclica
Mas
Substituindo na cíclica:
Logo de
resulta
que é exatamente a parte (b).
Passo 5
Para (c), escrevemos
e usamos a regra de cadeias em
:
Sabemos que
e, da termodinâmica,
.
Além disso, análoga à parte anterior,
Além disso, análoga à parte anterior,
Substituindo tudo:
Por fim usamos a identidade bem conhecida
Isso leva à forma final
que é exatamente a parte (c).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)