R-134a entra em um compressor no estado de vapor saturado a -4^{\circ} \mathrm{C} e sai com pressão de 14 bar. O compressor opera em regime permanente e exibe uma eficiência isentrópica de 75 \%. Desprezando tanto a troca de calor entre o compressor e o meio como os efeitos de variação de energia cinética e de energia potencial gravitacional, determine:
(a) A temperatura do R-134a na saída do compressor, em { }^{\circ} \mathrm{C};
(b) O trabalho que o compressor realiza sobre o refrigerante, em kJ por kg de R-134a.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para não perder o foco.
  • Dados do enunciado:
    • O fluido é R-134a entrando como vapor saturado à temperatura -4^\circ\mathrm{C}. Portanto a temperatura na entrada é \;T_1 = -4^\circ\mathrm{C}.
    • A pressão de saída do compressor é \;P_2 = 14\\ \text{bar}.
    • Eficiência isentrópica do compressor \;\eta_{is} = 75\% = 0{,}75.
    • Regime permanente; desprezam-se troca de calor com o meio e variações de energia cinética e potencial.
  • O que o enunciado pede:
    (a) A temperatura do R-134a na saída do compressor, em ^\circ\mathrm{C}.
    (b) O trabalho realizado pelo compressor sobre 1 kg de R-134a, em \mathrm{kJ/kg}.
Observação prática que guardei para a resolução: o enunciado não fornece tabelas termodinâmicas do R-134a. Vou optar por um método simples e aplicável sem tabelas (modelo de gás perfeito com calor específico constante), explicitando as hipóteses e os valores adotados. Isso permite calcular \;T_{2} e o trabalho sem precisar de tabelas. Se o exame exigir tabelas, o procedimento muda apenas na etapa de obtenção de propriedades; o raciocínio de eficiência isentrópica é o mesmo.

Passo 2

Explicar as fórmulas que vou usar e a lógica (passo-a-passo didático).
  1. Relação de processo isentrópico para gás ideal com calor específico constante:
T_{2s} = T_1\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{k-1}{k}}
  • Aqui \;T_1 e \;T_{2s} estão em Kelvin.
  • \;P_1 é a pressão na entrada (pressão de saturação a -4^\circ\mathrm{C}).
  • \;k é a razão de capacidades térmicas à pressão e volume constantes: \;k=\dfrac{c_p}{c_v}.
  • Essa fórmula vem da combinação das leis PV^k= constante e da equação de estado para gás ideal, sendo válida para compressão isentrópica de um gás ideal com c_p constante.
  1. Definição de eficiência isentrópica do compressor (usada em turbocompressores e compressores):
\eta_{is} = \frac{h_{2s}-h_1}{h_2-h_1}
  • Para um gás ideal com h=c_p T, isso reduz para
\eta_{is} = \frac{c_p(T_{2s}-T_1)}{c_p(T_2-T_1)} = \frac{T_{2s}-T_1}{T_2-T_1}.
  • Assim podemos obter a temperatura real de saída:
T_2 = T_1 + \frac{T_{2s}-T_1}{\eta_{is}}.
  1. Trabalho específico realizado pelo compressor (por kg de fluido), desprezando variações de energia cinética/potencial e calor trocado:
W = h_2 - h_1 \approx c_p (T_2 - T_1).
  • Novamente usamos a aproximação h=c_p T (válida no modelo de gás ideal com c_p aproximadamente constante).
Vou explicar cada símbolo quando for utilizado numericamente.

Passo 3

Determinar/assumir valores necessários que não vieram no enunciado e justificativas.
  • Temperatura de entrada convertida para Kelvin:
T_1 = -4^\circ\mathrm{C} = 269{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão de entrada \;P_1: como o fluido entra como vapor saturado a -4^\circ\mathrm{C}, sua pressão de entrada é a pressão de saturação nessa temperatura. Não foram fornecidas tabelas; portanto adoto o valor de saturação de referências padrão para R-134a:
P_1 = 2{,}32\\ \text{bar} \quad(\text{valor de saturação do R-134a a }-4^\circ\mathrm{C}, retirado de tabelas padrão).çãã
  • Justificação: esse é o valor típico nas tabelas; a razão P_2/P_1 é importante numericamente e usei esse P_1 para continuar a resolução.
  • Propriedades termodinâmicas aproximadas do vapor de R-134a (valores médios na faixa de temperatura considerada):
    • Tomarei \;k = 1{,}13 (razão c_p/c_v típica para vapor de R-134a nessa faixa).
    • Tomarei \;c_p = 0{,}88\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (valor médio aproximado do calor específico do vapor).
  • Observação: esses são valores aproximados e compatíveis com valores tabulados; se o exercício for resolvido com tabelas, substituir por h e s das tabelas dá resultados mais precisos. Aqui sigo a hipótese do modelo de gás perfeito com c_p constante para poder calcular passo a passo sem tabelas.

Passo 4

Cálculo do estado isentrópico de saída T_{2s} (usando a fórmula de gás ideal).
  1. Calcular a razão de pressões:
\frac{P_2}{P_1} = \frac{14{,}00}{2{,}32} = 6{,}03448\ldots
  1. Calcular o expoente \dfrac{k-1}{k}:
\frac{k-1}{k} = \frac{1{,}13-1}{1{,}13} = \frac{0{,}13}{1{,}13} = 0{,}115044\ldots
  1. Aplicar a relação isentrópica:
T_{2s} = T_1\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{k-1}{k}} = 269{,}15\cdot (6{,}03448)^{0{,}115044}.
Agora avaliando a potência:
\ln(6{,}03448)=1{,}7973,\quad 1{,}7973\cdot 0{,}115044 = 0{,}20668,
(6{,}03448)^{0{,}115044} = e^{0{,}20668} = 1{,}2298.
Portanto
T_{2s} = 269{,}15 \times 1{,}2298 = 331{,}0\\ \mathrm{K}.
Converter para Celsius:
T_{2s} = 331{,}0\\ \mathrm{K} - 273{,}15 = 57{,}9^\circ\mathrm{C}.
Interpretação: se a compressão fosse isentrópica (adiabática reversível), a saída estaria a \approx 57{,}9^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Calcular a temperatura real de saída T_2 usando a eficiência isentrópica.
  • Pela relação entre eficiências (derivada no Passo 2):
\eta_{is} = \frac{T_{2s}-T_1}{T_2-T_1} \quad\Rightarrow\quad T_2 = T_1 + \frac{T_{2s}-T_1}{\eta_{is}}.
  • Substituindo valores (tudo em Kelvin):
T_2 = 269{,}15 + \frac{331{,}0 - 269{,}15}{0{,}75} = 269{,}15 + \frac{61{,}85}{0{,}75} = 269{,}15 + 82{,}47 = 351{,}62\\ \mathrm{K}.
Converter para Celsius:
T_2 = 351{,}62 - 273{,}15 = 78{,}47^\circ\mathrm{C}.
Interpretação: devido à irreversibilidade (eficiência menor que 1), a temperatura real de saída é maior que a do caso isentrópico.

Passo 6

Calcular o trabalho específico do compressor por unidade de massa (kJ/kg).
  • Usando a aproximação h=c_p T:
W = h_2 - h_1 \approx c_p (T_2 - T_1).
  • Substituindo c_p=0{,}88\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e as temperaturas em Kelvin:
W = 0{,}88 \times (351{,}62 - 269{,}15) = 0{,}88 \times 82{,}47 = 72{,}57\\ \mathrm{kJ/kg}.
Comentário sobre sentido: esse é o trabalho fornecido ao fluido (o compressor realiza esse trabalho sobre 1 kg de R-134a). O sinal positivo indica que energia é adicionada ao fluido.

Passo 7

Resumo das hipóteses e avaliação de precisão (dica para prova):
  • Hipóteses usadas:
    • Tratamento do vapor como gás ideal com c_p constante ( c_p=0{,}88\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e k=1{,}13).
    • Pressão de entrada P_1=2{,}32\\ \text{bar} retirada de tabelas de saturação para R-134a a -4^\circ\mathrm{C}.
  • Essas aproximações são razoáveis e dão resultado rápido e interpretável em prova. Se houver tabelas de propriedades disponíveis, o procedimento correto seria:
    1. Ler h_1 e s_1 na tabela de vapor saturado a -4^\circ\mathrm{C}.
    2. Para P_2=14\\ \text{bar}, usar s_2s = s_1 e buscar na tabela superaquecida o correspondente h_{2s}.
    3. Usar \eta_{is} = \dfrac{h_{2s}-h_1}{h_2-h_1} para obter h_2 e então T_2 e o trabalho h_2-h_1.
  • Nossa solução numérica com modelo simples fornece resultados aproximados: T_2 por volta de 78{,}5^\circ\mathrm{C} e trabalho de cerca de 72{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}.
Força aí — a lógica é essa e, na prova, se você tiver as tabelas use o mesmo passo a passo substituindo as leituras tabeladas onde eu usei c_p e as relações de gás ideal.

Resposta

T_2 \approx 78{,}5^\circ\mathrm{C}
W \approx 72{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}

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