15.2 Explique como a energia interna e a entropia, para um sistema de dois niveis, variam com a temperatura.
Passo 1
O enunciado pede para explicar como a energia interna e a entropia variam com a temperatura para um sistema de dois níveis. Vou considerar o caso mais simples e padrão que é usado em provas: um nível de energia mais baixo que será tomado como referência
e um nível excitado com energia
.
Informações dadas (assumidas para formular a resposta):
Informações dadas (assumidas para formular a resposta):
- Dois níveis:
e . - O sistema está em equilíbrio térmico à temperatura
com um reservatório (ensemble canônico).
As perguntas a responder: - Qual a expressão da energia interna
e como ela varia com (limites e , monotonicidade)? - Qual a expressão da entropia
e como ela varia com (mesmos limites e comportamento geral)? - Qual é o comportamento do calor específico
(sinal, picos, limites)?
Passo 2
Conceitos fundamentais que vamos usar (explicados passo a passo, sem pular etapas).
- Quando um sistema está em contato térmico com um reservatório à temperatura
, a probabilidade de ocupação de um nível de energia é dada pelo fator de Boltzmann: a probabilidade relativa é proporcional a , onde e é a constante de Boltzmann. Em palavras: níveis de maior energia são menos prováveis, e a razão entre probabilidades depende exponencialmente de . - Para normalizar as probabilidades usamos a função partição (partition function)
. O soma as contribuições de todos os níveis. No nosso caso de dois níveis:
Explicando símbolos:
,
e
são as energias dos dois níveis,
é número adimensional que normaliza as probabilidades.
No nosso modelo com
e
temos:
Passo 3
Probabilidades de ocupação dos dois níveis (passo concreto).
- Probabilidade de estar no nível
:
- Probabilidade de estar no nível
:
Uma forma alternativa e às vezes mais conveniente para
é escrever:
Interpretação intuitiva: quando
é muito pequeno (
grande),
é quase zero, então
,
. Quando
é muito grande (
pequeno),
, então
.
Passo 4
Energia interna
: definição e derivação da fórmula.
- Em mecânica estatística a energia interna média é a esperança da energia:
No nosso caso isso dá
Substituindo
:
Explicando as variáveis:
é a energia interna média por sistema,
é a diferença entre o nível excitado e o nível base,
. Essa fórmula é a expressão central para a energia interna do sistema de dois níveis.
Passo 5
Limites e interpretação física para
.
- Limite
( ): , logo
Interpretação: a população vai toda para o nível fundamental (energia mínima) e a energia interna tende ao valor de referência
. Isso é consistente com a ideia de que a energia térmica disponível é insuficiente para excitar o sistema.
- Limite
( ): , então
Interpretação: em altas temperaturas os dois níveis têm ocupação igual (equipartição discreta aqui), então a energia média é a média aritmética dos níveis:
.
- Monotonicidade:
aumenta quando aumenta (mais temperatura → mais excitations). Podemos confirmar isso calculando o calor específico (próximo passo) que será positivo para todo , logo é função monótona crescente de .
Passo 6
Entropia
: fórmulas úteis e derivação.
- Entropia estatística (Gibbs) para um conjunto discreto de probabilidades é
No nosso caso:
- Há também uma fórmula prática relacionada à partição: para o ensemble canônico vale
Isso é útil porque evita trabalhar diretamente com os logaritmos das probabilidades. Usando
e
da Passo 4, obtemos uma expressão explícita:
Essa expressão é equivalente à escrita por
e
, só que mais compacta.
Passo 7
Limites e interpretação física para
.
- Limite
( ): então , . Avaliando a expressão:
lembrando que
é definido como
no limite. Interpretação: estado puro (toda população no estado fundamental) tem entropia zero — terceiro princípio da termodinâmica em linguagem estatística.
- Limite
( ): , então
Interpretação: quando as probabilidades são iguais, a incerteza máxima é que o sistema esteja em um dos dois níveis com probabilidade
, e a entropia atinge seu valor máximo
.
- Em resumo:
cresce de (em ) até (quando ), de forma monótona crescente.
Passo 8
Calor específico
: expressão e comportamento (pico de Schottky).
- Derivando
podemos obter o calor específico:
Explicando: aqui
. A expressão resulta ao aplicar a regra da cadeia à dependência de
em
e
em
.
- Sinal e forma: a fórmula mostra que
para todo , portanto é estritamente crescente com . - Limites de
: quando ( ) temos porque as excitations estão congeladas; quando ( ) temos novamente porque o sistema já está saturado em média ( tende para ) e pequenas variações de não mudam muito a ocupação relativa. Entre esses extremos apresenta um pico (chamado pico de Schottky), isto é, o calor específico atinge um máximo para uma temperatura da ordem de . Fisicamente: há uma faixa de temperatura onde a energia térmica coincide com a separação dos níveis e muitas transições ocorrem, produzindo o pico.
Passo 9
Resumo didático e (curto) exemplo mental para fixar a escala.
- Resumo qualitativo: ao aquecer o sistema, partículas vão sendo excitadas do nível
para o nível ; por isso cresce de para (não passa de porque a ocupação máxima relativa do nível excitado é em altas temperaturas neste modelo). A entropia mede a incerteza na ocupação: começa em (todas no estado fundamental) e cresce até (máxima incerteza entre dois níveis igualmente prováveis). - Exemplo mental de escala: se
for da ordem de em unidades de temperatura (isto é, ), então a temperatura que dá o pico de será da ordem de . Para grande comparado a o sistema fica quase todo no estado fundamental; para pequeno comparado a os dois níveis ficam quase equiprováveis.
Resposta
Limites:
Limites:
Calor específico:
, que é positivo, tende a zero em
e em
, e apresenta um pico intermediário (pico de Schottky) para
da ordem de
.