2-152 Alguns engenheiros têm sugerido que o ar comprimido em tanques pode ser utilizado para impulsionar veículos de transporte pessoais. A atual tecnologia com tanque de ar comprimido nos permite comprimir e reter o ar com segurança com até 4.000 psia . Os tanques feitos de materiais compósitos requerem cerca de 10 lbm de materiais de construção para cada 1 pé 3 de gás armazenado. Aproximadamente 0,01 \mathrm{hp} é requerido por quilo de peso do veículo para movê-lo a uma velocidade de 30 milhas por hora. Qual é o alcance máximo que este veículo pode ter? Leve em conta somente o peso dos tanques e considere a conversão perfeita da energia no ar comprimido

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos (lista clara):
  • Pede: alcance máximo do veículo que usa somente o ar comprimido armazenado nos tanques, assumindo conversão perfeita da energia do ar em trabalho e considerando apenas o peso dos tanques.
  • Dados fornecidos:
    • Pressão de armazenamento: P_0 = 4{,}000\\ \text{psia}.
    • Os tanques requerem cerca de 10\\ \text{lbm} de material por 1\\ \text{ft}^3 de gás armazenado.
    • Potência requerida para manter 30\\ \text{mph}: 0{,}01\\ \text{hp} por quilo de massa do veículo (ou seja, por \,1\\ \text{kg} de massa é preciso 0{,}01\\ \text{hp}).
    • Considerar somente o peso dos tanques (portanto massa do veículo = massa dos tanques).
    • Assumir conversão perfeita da energia do ar comprimido em trabalho (tomaremos expansão isotérmica reversível para obter o trabalho máximo extraível do gás ideal).
  • Constantes e conversões que vamos usar:
    • Pressão atmosférica aproximada P_a = 14{,}7\\ \text{psi}.
    • 1\\ \text{psi} = 6{,}894{,}757\\ \text{Pa}.
    • 1\\ \text{ft}^3 = 0{,}0283168466\\ \text{m}^3.
    • 1\\ \text{lbm} = 0{,}45359237\\ \text{kg}.
    • 1\\ \text{hp} = 745{,}699872\\ \text{W}.
    • 1\\ \text{mile} = 1{,}609{,}344\\ \text{m}.
    • Velocidade: 30\\ \text{mph} será convertida para \text{m/s}.

Passo 2

Explicando a física e a fórmula que vamos usar (aula curta e concreta).
  • Se o gás se expande reversivelmente e isotermicamente de P_0 até P_a, o trabalho máximo extraível por unidade do volume inicial V_0 é dado por:
W = P_0 V_0 \ln\!\left(\frac{P_0}{P_a}\right).
  • O porquê: para uma expansão isotérmica reversível de um gás ideal vale dW = P\,dV com P = nRT/V; integrando de V_0 até V_a e usando P_0V_0=P_aV_a chega-se à expressão acima. Nesta expressão:
    • W é o trabalho (energia) extraível [J] a partir do volume V_0 do gás comprimido a pressão P_0;
    • P_0 é a pressão inicial do gás no tanque;
    • V_0 é o volume ocupado pelo gás à pressão P_0;
    • P_a é a pressão final (aqui a atmosférica).
  • Observação prática: a expansão isotérmica reversível fornece o trabalho máximo teoricamente disponível se for possível manter temperatura constante (trocar calor com o ambiente). O enunciado pede “conversão perfeita”, então este é um limite razoável.

Passo 3

Calcular a razão de pressões e o logaritmo natural.
  • Converter pressões para SI:
P_0 = 4{,}000\\ \text{psi} = 4{,}000 \times 6{,}894{,}757\\ \text{Pa} = 27\,579\,028\\ \text{Pa}.
P_a = 14{,}7\\ \text{psi} = 14{,}7 \times 6{,}894{,}757\\ \text{Pa} = 101\,352{,}9279\\ \text{Pa}.
  • Razão e logaritmo:
\frac{P_0}{P_a} = \frac{27\,579\,028}{101\,352{,}928}\approx 272{,}19, \qquad \ln\!\left(\frac{P_0}{P_a}\right)\approx 5{,}6062.

Passo 4

Calcular P_0 V_0 e a energia extraível por 1\\ \text{ft}^3 de gás armazenado.
  • Volume considerado: V_0 = 1\\ \text{ft}^3 = 0{,}0283168466\\ \text{m}^3.
  • Produto P_0 V_0:
P_0 V_0 = 27\,579\,028\\ \text{Pa} \times 0{,}0283168466\\ \text{m}^3 \approx 780\,951\\ \text{J}.
  • Energia extraível por 1\\ \text{ft}^3:
E_{1\\ \text{ft}^3} = P_0 V_0 \ln\!\left(\frac{P_0}{P_a}\right) \approx 780\,951 \times 5{,}6062 \approx 4\,376\,855\\ \text{J}.
  • Conversão rápida: 4\,376\,855\\ \text{J} \approx \dfrac{4\,376\,855}{3{,}6\times10^{6}}\\ \text{kWh}\approx 1{,}216\\ \text{kWh}.

Passo 5

Relacionar massa do material do tanque com o volume armazenado e obter energia por quilograma de tanque.
  • Massa de material por 1\\ \text{ft}^3:
m_{1\\ \text{ft}^3} = 10\\ \text{lbm} = 10\times 0{,}45359237\\ \text{kg} = 4{,}5359237\\ \text{kg}.
  • Logo, energia disponível por quilograma de tanque (energia específica):
\varepsilon = \frac{E_{1\\ \text{ft}^3}}{m_{1\\ \text{ft}^3}} = \frac{4\,376\,855\\ \text{J}}{4{,}5359237\\ \text{kg}} \approx 964\,935\\ \frac{\text{J}}{\text{kg}}.
  • Interpretação: cada quilo de tanque carrega, teoricamente, cerca de 964{,}935\\ \text{J} de energia útil do ar comprimido nele contido (assumindo 1 ft^3 por 4,5359 kg de material).

Passo 6

Calcular a potência requerida por massa e o tempo de operação por quilograma de tanque.
  • Potência requerida por quilograma:
p_{\text{espec}} = 0{,}01\\ \text{hp/kg} = 0{,}01\times 745{,}699872\\ \frac{\text{W}}{\text{kg}} \approx 7{,}456999\\ \frac{\text{W}}{\text{kg}}.
  • Tempo de operação por quilograma de tanque (energia por kg dividido por potência por kg):
t_{\text{espec}} = \frac{\varepsilon}{p_{\text{espec}}} = \frac{964\,935\\ \text{J/kg}}{7{,}456999\\ \text{W/kg}} \approx 129\,438\\ \text{s}.
  • Converter para horas:
129\,438\\ \text{s} \approx \frac{129\,438}{3600}\\ \text{h} \approx 35{,}95\\ \text{h}.
  • Observação importante (insight útil!): a massa total cancela — o tempo de operação depende apenas da energia específica do sistema e da potência por massa. Isso significa que o alcance final não depende de quanta massa/volume de tanque se tem; é uma propriedade específica do par “energia específica / potência por massa”.

Passo 7

Converter a velocidade e calcular o alcance (distância) correspondente ao tempo calculado.
  • Velocidade: 30\\ \text{mph} em \text{m/s}:
v = 30\\ \frac{\text{mile}}{\text{h}} = 30\times\frac{1{,}609{,}344\\ \text{m}}{3{,}600\\ \text{s}} \approx 13{,}4112\\ \text{m/s}.
  • Distância máxima D (em metros):
D = v \, t_{\text{espec}} \approx 13{,}4112\\ \frac{\text{m}}{\text{s}} \times 129\,438\\ \text{s} \approx 1\,737\,252\\ \text{m}.
  • Converter para quilômetros e milhas:
D \approx 1\,737{,}252\\ \text{km} \quad\text{(observe que isso é em metros, dividir por 1000)} \Rightarrow D\approx 1{,}737\\ \times 10^{3}\\ \text{km},é
D \text{ em milhas } = \frac{1\,737\,252\\ \text{m}}{1{,}609{,}344\\ \text{m/mile}} \approx 1{,}079{,}9\\ \text{milhas}.

Passo 8

Interpretação final e comentário de sanidade (breve e motivador).
  • Resultado teórico: alcance muito grande (cerca de 1{,}080 milhas) porque assume conversão perfeita e processo isotérmico reversível — condições ideais que na prática não são alcançáveis (haverá perdas, eficiência do motor/expansor, peso adicional além do material do tanque, reforços, válvulas, etc.). Mas como exercício teórico, mostra que a energia armazenada a 4{,}000\\ \text{psia} por volume é numericamente significativa.
  • Conclusão prática: o valor é um limite superior otimista; na prática o alcance real seria bem menor, mas o cálculo mostra como comparar sistemas de armazenamento energético.

Resposta

D \approx 1{,}08\times10^{3}\\ \text{milhas} \approx 1{,}74\times10^{3}\\ \text{km}

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