Questão 03 (50 pontos) - A formação do hexano em água é descrita pela equação abaixo. As quantidades iniciais dos reagentes são 0,955 e 0,765 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} para o carbono e \mathrm{H}_{2}, respectivamente. De acordo com a reação química balanceada, responda:
\mathrm{C}_{(\mathrm{aq})}+\mathrm{H}_{2(\mathrm{aq})} \rightarrow \mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{14(\mathrm{aq})}
(15 pontos) Qual o valor da constante de velocidade da reação de primeira ordem com relação ao carbono a 20^{\circ} \mathrm{C}, quando 40 \% do carbono reagiu 2 minutos;

Passo 1

O enunciado nos dá a reação
\mathrm{C}_{(\mathrm{aq})}+\mathrm{H}_{2(\mathrm{aq})}\rightarrow \mathrm{C}_{6}\mathrm{H}_{14(\mathrm{aq})}
e pede o valor da constante de velocidade para uma reação de primeira ordem em relação ao carbono a 20^\circ\mathrm{C}. As informações numéricas fornecidas são:
  • Concentração inicial de carbono: [C]_0 = 0,955\\ \mathrm{mol\!/L}.
  • Concentração inicial de \mathrm{H}_2: [H_2]_0 = 0,765\\ \mathrm{mol\!/L}.
  • Depois de t=2 minutos, 40\% do carbono reagiu (ou seja, 40\% foi consumido).
O que se pede: calcular a constante de velocidade k (valor numérico e unidades) para a cinética de primeira ordem em relação ao carbono.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
“Primeira ordem em relação ao carbono” significa que, para o carbono como espécie-chave C, a velocidade de consumo depende linearmente da sua concentração. Escrevemos a lei de velocidade (para consumo) como
-\frac{d[C]}{dt}=k\,[C],
onde:
  • [C] é a concentração do carbono em \mathrm{mol\!/L} no tempo t,
  • k é a constante de velocidade (unidade será \mathrm{tempo}^{-1}),
  • t é o tempo (aqui em minutos se usarmos minutos).
Para obter a forma integrada (útil para comparar concentrações em instantes distintos) resolvemos a equação diferencial por separação de variáveis:
\frac{d[C]}{[C]}=-k\,dt.
Integrando ambos os lados do tempo 0 até t e das concentrações [C]_0 até [C] dá:
\int_{[C]_0}^{[C]}\frac{d[C']}{[C']}=-k\int_{0}^{t}dt'.
A integral do lado esquerdo é \ln\!\big([C]\big)-\ln\!\big([C]_0\big) e a do lado direito é -k t. Assim obtemos a forma integrada da lei de primeira ordem:
[C]=[C]_0\,e^{-k t}.
Essa é a fórmula que usamos para relacionar [C], [C]_0, k e t.

Passo 3

Interpretar o dado “40% do carbono reagiu em 2 minutos”:
Se 40% foi consumido, a fração remanescente do carbono é 1-0,40=0,60. Logo no tempo t=2\\ \mathrm{min} vale
[C](2\\ \mathrm{min})=0,60\,[C]_0.
Observe que o valor numérico de [C]_0 não é necessário para encontrar k porque [C] aparece multiplicando [C]_0 na equação integrada — a razão [C]/[C]_0 é simplesmente a fração remanescente.

Passo 4

Aplicar a lei integrada e isolar k:
Partimos de
[C]=[C]_0\,e^{-k t}.
Dividindo por [C]_0 e substituindo a fração remanescente 0,60:
0,60=e^{-k t}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
\ln(0,60)=-k t.
Isolando k:
k=-\frac{1}{t}\ln(0,60).

Passo 5

Cálculo numérico e unidades:
Aqui t=2\\ \mathrm{min}. Primeiro calcular \ln(0,60). Uma forma prática é usar \ln(0,60)=\ln(3)-\ln(5), com valores conhecidos
\ln(3)\approx1,098612\quad\text{e}\quad \ln(5)\approx1,609437,
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\ln(0,60)=1,098612-1,609437=-0,510825.
Substituindo em k=-\dfrac{1}{t}\ln(0,60):
k=-\frac{1}{2}\times(-0,510825)=0,2554125\\ \mathrm{min}^{-1}.
Arredondando razoavelmente (três algarismos significativos):
k\approx0,255\\ \mathrm{min}^{-1}.
Se preferir a unidade em \mathrm{s}^{-1}, convertendo minutos para segundos ( 1\\ \mathrm{min}=60\\ \mathrm{s}):
k=0,2554125\\ \mathrm{min}^{-1}\times\frac{1\\ \mathrm{min}}{60\\ \mathrm{s}} \approx0,0042569\\ \mathrm{s}^{-1},
que arredondado a três algarismos significativos é
k\approx0,00426\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 6

Comentário rápido e incentivo:
Repare que não foi preciso usar as concentrações iniciais numéricas ( [C]_0=0,955\\ \mathrm{mol\!/L}) porque o dado percentual já fornece a razão [C]/[C]_0. Bom trabalho por encarar isso — cinética é chata no começo, mas essa é a ideia central e funciona direto na prova.

Resposta

k\approx0,255\\ \mathrm{min}^{-1}
k\approx0,00426\\ \mathrm{s}^{-1}

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