16^{\underline{\mathrm{a}}} questão (Prova de 2022)
Considere determinada quantidade de etanol líquido em um recipiente aberto. 0 vapor de etanol (A) difunde numa película de ar (B) estagnado de dimensão \Delta \mathrm{x} (\mu \mathrm{m}). O perfil de concentração de etanol ( \mathrm{em} \mathrm{mmol} / \mathrm{m}^{3} ) na película é parcialmente descrito pela equação: c(x)=-4 x^{2}+8 x+5, onde ’ x ’ está em \mu m.
Considere que \mathrm{D}_{\mathrm{AB}}=0,132 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}.
(a) Faça uma representação esquemática do problema.
(b) Calcule, ou determine justificando sua resposta, a máxima espessura da película.
(c) Calcule o fluxo difusivo do vapor de etanol no ar.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
Perfil de concentração: c(x) = -4x^{2} + 8x + 5, com x em \mu\mathrm{m} e c em \mathrm{mmol}/\mathrm{m}^{3}.
Coeficiente de difusão: D_{AB}=0{,}132\\ \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s}.
A espessura da película é \Delta x (em \mu\mathrm{m}); pretende-se relacionar \Delta x com o perfil dado.
Conversões que precisaremos (vou usá‑las depois):
1\\ \mathrm{cm}^{2} = 10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}.
1\\ \mu\mathrm{m} = 10^{-6}\\ \mathrm{m}.
O enunciado pede:
(a) Fazer uma representação esquemática do problema.
(b) Calcular, ou justificar, a máxima espessura da película \Delta x.
(c) Calcular o fluxo difusivo do vapor de etanol no ar.
Passo 2
Esboço físico e interpretação do perfil (representação esquemática verbal e valores extraídos do perfil).
Interpretação do eixo x: tomamos x medido ao longo da película, variando de x=0 até x=\Delta x. O perfil dado vale para estes x.
Alguns pontos do perfil (usei a fórmula para calcular):
Esquema verbal (faça um desenho simples no caderno seguindo isto):
À esquerda: líquido (ou interface líquida) em x=0 com concentração c(0)=5.
A seguir a película de ar estagnado para 0\le x\le \Delta x, com perfil c(x) que sobe até x=1\\ \mu\mathrm{m} (pico c=9) e depois diminui.
No extremo da película, x=\Delta x, está o ar “bulk” onde a concentração pode ser nula (dependendo de \Delta x).
Observação importante (para não se confundir): a função é uma parábola que abre para baixo, tem máximo em x=1\\ \mu\mathrm{m} e zera em x=-0{,}5\\ \mu\mathrm{m} (fora da película) e em x=2{,}5\\ \mu\mathrm{m}. Portanto se a película estender além de 2{,}5\\ \mu\mathrm{m} a função produziria concentrações negativas (não físicas).
Passo 3
Converter D_{AB} para unidades SI (métricas) e explicar por que fazemos isso.
Comentário didático: para usar a Lei de Fick J=-D\,\mathrm{d}c/\mathrm{d}x com x em metros e c em \mathrm{mmol}/\mathrm{m}^{3} é preciso que D esteja em \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}. Também vamos converter derivadas feitas com x em \mu\mathrm{m} para derivadas em função de x em metros (próximo passo).
Passo 4
Determinar a máxima espessura da película (resposta do item (b)), com justificativa física.
Raciocínio físico: concentração não pode ser negativa. A máxima \Delta x admissível é o maior x>0 dentro do domínio em que c(x)\ge 0. Assim procuramos a raiz positiva da equação c(x)=0.
Resolver c(x)=0:-4x^{2}+8x+5=0 \quad\Longrightarrow\quad 4x^{2}-8x-5=0.Usando a fórmula de Bhaskara:x=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^{2}-4\cdot 4\cdot(-5)}}{2\cdot 4}=\frac{8\pm\sqrt{64+80}}{8}=\frac{8\pm\sqrt{144}}{8}=\frac{8\pm 12}{8}.Isso dá as raízes x_{1}=\dfrac{8+12}{8}=2{,}5\\ \mu\mathrm{m} e x_{2}=\dfrac{8-12}{8}=-0{,}5\\ \mu\mathrm{m}.
Conclusão física: a única raiz positiva é \;x=2{,}5\\ \mu\mathrm{m}. Logo a máxima espessura da película é\Delta x_{\max}=2{,}5\\ \mu\mathrm{m}.(A outra raiz negativa é fora da região física x\ge 0.)
Passo 5
Preparar para calcular o fluxo difusivo (item (c)): apresentar a Lei de Fick e esclarecer como vamos calcular a derivada.
Lei de Fick (primeira lei, regime estacionário local ou relação local de fluxo):J(x) = -D_{AB}\,\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}x},onde:
J(x) é o fluxo molar local (unidade aqui \mathrm{mmol}/\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}),
D_{AB} é o coeficiente de difusão (em \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}),
\dfrac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}x} é o gradiente de concentração em \mathrm{mmol}/\mathrm{m}^{3} por metro.
Observação sobre o perfil: a função dada é quadrática, logo \dfrac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}x} varia com x — isto significa que o fluxo, se definido localmente por J=-D\,\mathrm{d}c/\mathrm{d}x, também varia com x. Em muitas situações idealizadas de película estagnada e sem fontes/consumos o perfil seria linear (fluxo constante). Aqui o perfil é dado e não é linear; portanto vamos calcular o fluxo localmente. Para obter o fluxo na interface líquido–película (fluxo que sai ou entra do líquido) é natural avaliar a lei de Fick em x=0 (ponto de contato líquido/película). Vou calcular J em x=0. Se quisesse o fluxo em outro ponto é só avaliar em outro x\in[0,2{,}5].
Cálculo da derivada: a função c(x) foi dada com x em \mu\mathrm{m}. Primeiro calculo a derivada em relação a x expresso em \mu\mathrm{m}:\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}x}\Big|_{x\\ (\mu\mathrm{m})} = -8x+8\quad\text{(aqui \(x\) está em \(\mu\mathrm{m}\);\ a unidade é \(\mathrm{mmol}/\mathrm{m}^{3}\) por \(\mu\mathrm{m}\)).}
Converter derivada para “por metro”: se x_{\mu} é x em \mu\mathrm{m} e x_{m} é x em metros, tem x_{\mu}=x_{m}\times 10^{6}. Assim\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}x_{m}} = \frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}x_{\mu}}\cdot\frac{\mathrm{d}x_{\mu}}{\mathrm{d}x_{m}} = (-8x_{\mu}+8)\times 10^{6}.Portanto, em unidades SI:\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}x}\bigg|_{\text{(por metro)}} = (-8x_{\mu}+8)\times 10^{6}\quad\left[\frac{\mathrm{mmol}}{\mathrm{m}^{3}\cdot\mathrm{m}}\right].
Passo 6
Calcular o fluxo no ponto x=0 (fluxo na interface líquido–película) e interpretar o sinal.
Avaliando a derivada em x_{\mu}=0:\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}x}\Big|_{x=0} = (-8\cdot 0 +8)\times 10^{6} = 8\times 10^{6}\\ \frac{\mathrm{mmol}}{\mathrm{m}^{3}\cdot\mathrm{m}}.
Aplicando a Lei de Fick com D_{AB}=1{,}32\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}:J(0) = -D_{AB}\,\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}x}\Big|_{x=0} = -\left(1{,}32\times 10^{-5}\right)\left(8\times 10^{6}\right)\\ \frac{\mathrm{mmol}}{\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}}.
Fazer a multiplicação:1{,}32\times 10^{-5}\times 8\times 10^{6} = 1{,}32\times 8 \times 10^{1} = 10{,}56\times 10^{1} = 105{,}6.LogoJ(0) = -105{,}6\\ \frac{\mathrm{mmol}}{\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}}.
Interpretação do sinal: o sinal negativo em J=-D\,\mathrm{d}c/\mathrm{d}x indica que o fluxo é na direção de queda de concentração (do lado de maior c para o lado de menor c). Se tomamos x positivamente para dentro da película a partir da superfície líquida, um J<0 significa que o fluxo está dirigido para x negativo (ou seja, localmente aponta em direção contrária ao sentido positivo definido). Em termos práticos, o módulo do fluxo é \lvert J(0)\rvert = 105{,}6\\ \mathrm{mmol}/\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}.
Conversão para \mathrm{mol}/\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s} (opcional):105{,}6\\ \mathrm{mmol}/\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s} = 0{,}1056\\ \mathrm{mol}/\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}.
Resposta
(a) Esquema: líquido na interface x=0 com c(0)=5\\ \mathrm{mmol}/\mathrm{m}^{3}; película de ar para 0\le x\le\Delta x com perfil c(x)=-4x^{2}+8x+5 (em \mu\mathrm{m}), máximo em x=1\\ \mu\mathrm{m} e zerando em x=2{,}5\\ \mu\mathrm{m}.
(b) \displaystyle \Delta x_{\max}=2{,}5\\ \mu\mathrm{m}.
(c) Fluxo na interface x=0: \displaystyle J(0)=-105{,}6\\ \frac{\mathrm{mmol}}{\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}} (módulo \;105{,}6\\ \mathrm{mmol}/\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}=0{,}1056\\ \mathrm{mol}/\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}).