Considere
spins arranjados em uma linha reta. Na presença de um campo magnético,
, o Hamiltoniano deste sistema será dado por:
em que
,
é uma constante que especifica a magnitude da interação entre dois spins vizinhos e
é o momento magnético.
Este sistema constitui o modelo de Ising unidimensional. Dado que a função de partição canônica para este sistema na ausência de um campo magnético
pode ser escrita, no limite de
, como:
em que
.
Sendo que a energia livre de Helmholtz é dada por
, mostre que:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- É dado o Hamiltoniano (para referência):
com
,
a energia de interação e
o momento magnético.
- A função de partição no caso
é, no limite ,
onde
(número de mols) e
é a constante dos gases.
- A energia livre de Helmholtz é dada por
O que é pedido:
- Mostrar que a capacidade calorífica
(molar — por mol de spins) é
Passo 2
Estruturo a solução com variáveis que simplificam as contas. Defino a variável adimensional
Isto facilita escrever
Portanto a função de partição fica
Passo 3
Calculo a energia livre
em termos de
. Usando
e
,
Aqui
é o número de mols,
é a constante dos gases,
é a temperatura e
depende de
.
Passo 4
Recordo a relação entre energia interna
e energia livre
. Pela definição termodinâmica:
Vou calcular
. Como
, aplico a regra do produto e a cadeia:
Agora
E como
,
Substituindo:
Passo 5
Agora calculo
usando
. Substituindo
e
:
As parcelas com
se cancelam, sobrando
Mas
, logo
Portanto a energia interna por mol (energia interna molar) é
Passo 6
A capacidade calorífica molar à temperatura constante (volume fixo) é
Como
e
, aplico derivada em cadeia:
Usando
obtemos
Passo 7
Faço a conexão com a forma dada no enunciado usando identidades hiperbólicas e exponenciais. Lembrando que
Note que
e o quadrado elimina o sinal. Portanto
Substituindo
na expressão obtida para
dá exatamente