Considere N spins arranjados em uma linha reta. Na presença de um campo magnético, h, o Hamiltoniano deste sistema será dado por:
\mathcal{H}(\sigma)=-J \sum_{i=1}^{N} \sigma_{i} \sigma_{i+1}-h \mu \sum_{i=1}^{N} \sigma_{i}
em que \sigma= \pm 1, J é uma constante que especifica a magnitude da interação entre dois spins vizinhos e \mu é o momento magnético.
Este sistema constitui o modelo de Ising unidimensional. Dado que a função de partição canônica para este sistema na ausência de um campo magnético (h=0) pode ser escrita, no limite de N \rightarrow+\infty, como:
Q(T, n)=\left(e^{J / R T}+e^{-J / R T}\right)^{n}
em que n=N / N_{A}.
Sendo que a energia livre de Helmholtz é dada por A=-R T \ln Q, mostre que:
c_{v}=\frac{J^{2}}{R T^{2}}\left[1-\left(\frac{e^{-J / R T}-e^{J / R T}}{e^{J / R T}+e^{-J / R T}}\right)^{2}\right]

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • É dado o Hamiltoniano (para referência):
\mathcal{H}(\sigma)=-J \sum_{i=1}^{N} \sigma_{i} \sigma_{i+1}-h \mu \sum_{i=1}^{N} \sigma_{i},
com \sigma_i=\pm1, J a energia de interação e \mu o momento magnético.
  • A função de partição no caso h=0 é, no limite N\to+\infty,
Q(T,n)=\left(e^{J/RT}+e^{-J/RT}\right)^{n},
onde n=N/N_A (número de mols) e R é a constante dos gases.
  • A energia livre de Helmholtz é dada por
A=-R T \ln Q.
O que é pedido:
  • Mostrar que a capacidade calorífica c_{v} (molar — por mol de spins) é
c_{v}=\frac{J^{2}}{R T^{2}}\left[1-\left(\frac{e^{-J / R T}-e^{J / R T}}{e^{J / R T}+e^{-J / R T}}\right)^{2}\right].

Passo 2

Estruturo a solução com variáveis que simplificam as contas. Defino a variável adimensional
x=\frac{J}{R T}.
Isto facilita escrever
e^{J/RT}+e^{-J/RT}=e^{x}+e^{-x}=2\operatorname{cosh} x.
Portanto a função de partição fica
Q(T,n)=(2\operatorname{cosh} x)^{n}.

Passo 3

Calculo a energia livre A em termos de x. Usando A=-RT\ln Q e \ln Q=n\ln(2\operatorname{cosh} x),
A=-R T\, n \ln(2\operatorname{cosh} x).
Aqui n é o número de mols, R é a constante dos gases, T é a temperatura e x=J/(R T) depende de T.

Passo 4

Recordo a relação entre energia interna U e energia livre A. Pela definição termodinâmica:
A=U-TS \quad\Rightarrow\quad U=A-T\left(\frac{\partial A}{\partial T}\right)_{V}.
Vou calcular \partial A/\partial T. Como A=-R n T\ln(2\operatorname{cosh} x(T)), aplico a regra do produto e a cadeia:
\frac{\partial A}{\partial T}=-R n\left[\ln(2\operatorname{cosh} x)+T\frac{d}{dT}\ln(2\operatorname{cosh} x)\right].
Agora
\frac{d}{dT}\ln(2\operatorname{cosh} x)=\frac{1}{2\operatorname{cosh} x}\cdot 2\operatorname{sinh} x\cdot\frac{dx}{dT}=\operatorname{tanh} x\cdot\frac{dx}{dT}.
E como x=J/(R T),
\frac{dx}{dT}=-\frac{J}{R T^{2}}=-\frac{x}{T}.
Substituindo:
\frac{\partial A}{\partial T}=-R n\Big[\ln(2\operatorname{cosh} x)+T\cdot\operatorname{tanh} x\cdot\Big(-\frac{x}{T}\Big)\Big] =-R n\big[\ln(2\operatorname{cosh} x)-x\operatorname{tanh} x\big].

Passo 5

Agora calculo U usando U=A-T(\partial A/\partial T). Substituindo A e \partial A/\partial T:
U=-R n T\ln(2\operatorname{cosh} x)-T\Big(-R n\big[\ln(2\operatorname{cosh} x)-x\operatorname{tanh} x\big]\Big).
As parcelas com \ln(2\operatorname{cosh} x) se cancelam, sobrando
U=-R n T\cdot x\operatorname{tanh} x.
Mas x=\dfrac{J}{R T}, logo
U=-R n T\cdot\frac{J}{R T}\operatorname{tanh} x=-nJ\operatorname{tanh} x.
Portanto a energia interna por mol (energia interna molar) é
u\equiv\frac{U}{n}=-J\operatorname{tanh} x.

Passo 6

A capacidade calorífica molar à temperatura constante (volume fixo) é
c_{v}=\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{V}.
Como u=-J\operatorname{tanh} x e x=x(T), aplico derivada em cadeia:
c_{v}=-J\frac{d}{dT}(\operatorname{tanh} x)=-J\,\mathrm{sech}^{2}x\cdot\frac{dx}{dT}.
Usando \dfrac{dx}{dT}=-\dfrac{J}{R T^{2}} obtemos
c_{v}=-J\cdot\mathrm{sech}^{2}x\cdot\Big(-\frac{J}{R T^{2}}\Big)=\frac{J^{2}}{R T^{2}}\mathrm{sech}^{2}x.

Passo 7

Faço a conexão com a forma dada no enunciado usando identidades hiperbólicas e exponenciais. Lembrando que
\mathrm{sech}^{2}x=1-\operatorname{tanh}^{2}x, \qquad \operatorname{tanh} x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}.
Note que
\frac{e^{-x}-e^{x}}{e^{x}+e^{-x}}=-\operatorname{tanh} x,
e o quadrado elimina o sinal. Portanto
\mathrm{sech}^{2}x=1-\left(\frac{e^{-x}-e^{x}}{e^{x}+e^{-x}}\right)^{2}.
Substituindo x=J/(R T) na expressão obtida para c_{v} dá exatamente
c_{v}=\frac{J^{2}}{R T^{2}}\left[1-\left(\frac{e^{-J / R T}-e^{J / R T}}{e^{J / R T}+e^{-J / R T}}\right)^{2}\right].

Resposta

c_{v}=\frac{J^{2}}{R T^{2}}\left[1-\left(\frac{e^{-J / R T}-e^{J / R T}}{e^{J / R T}+e^{-J / R T}}\right)^{2}\right]

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