[2,0] Uma caixa de engrenagens operando em estado estacionário recebe 2 hp através do eixo de entrada e entrega 1,89 \mathrm{hp} no eixo de saída. A superfície externa da caixa de engrenagens encontra-se a 110^{\circ} \mathrm{F} e possui uma área de 1,4 \mathrm{ft}^{2}. A temperatura da vizinhança afastada da vizinhança imediata da caixa de engrenagens é 70^{\circ} F. Para a caixa de engrenagens, determine:
a) [1,0] a taxa de transferência de calor, em Btu/s.
b) [1,0] a taxa pela qual a entropia é gerada, em Btu/ { }^{\circ} R.s.

Passo 1

O enunciado trata de uma caixa de engrenagens em regime estacionário que recebe 2 hp de pot^encia mec^anica na entrada e entrega 1,89 hp na sa’ida, dissipando o excesso em forma de calor na superf’icie externa a 110^\circF ( T_s) sobre 'area de 1,4,ft ^2. O ambiente remoto est’a a 70^\circF ( T_\infty). Precisamos usar o balan’co de energia (primeira lei da termodin^amica) para achar a taxa de calor e o balan’co de entropia (segunda lei) para achar a taxa de gera’c~ao de entropia.

Passo 2

Primeiro convertemos pot^encias em Btu/s. Lembrando que 1,hp =550,ft\cdot lb/s e 1,Btu =778,ft\cdot lb, temos
2\\ \text{hp} = \frac{2\times550}{778}\\ \text{Btu/s}\approx1,414\\ \text{Btu/s},
1,89\\ \text{hp} = \frac{1,89\times550}{778}\\ \text{Btu/s}\approx1,336\\ \text{Btu/s}.

Passo 3

Pela conservação de energia em regime estacionário, a potência que deixa a caixa na forma de calor é a diferença entre entrada e saída:
\dot Q = \dot W_{\rm in} - \dot W_{\rm out} =1{,}414 - 1{,}336 =0{,}078\\ \text{Btu/s}.

Passo 4

Para o balanço de entropia na caixa de engrenagens em regime estacionário não há variação de entropia armazenada, nem transporte de massa, nem transporte de entropia por trabalho. Logo, toda entropia gerada \dot S_{\rm gen} sai associada ao calor que sai pela superfície a T_s. Tomando positiva a geração,
\dot S_{\rm gen} =\frac{\dot Q}{T_s} \quad\text{com}\quad T_s = 110^\circ\text{F}+459{,}67 = 569{,}67^\circ\text{R}.
Substituindo,
\dot S_{\rm gen} =\frac{0{,}078}{569{,}67} \approx1{,}37\times10^{-4}\\ \text{Btu/R\cdots}.

Resposta

a) \dot Q = 0{,}078\\ \text{Btu/s}.
b) \dot S_{\rm gen} = 1{,}37\times10^{-4}\\ \text{Btu/R\cdots}.

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