A energia interna U pode ser expressa como uma função de T e P.
a) Desenvolva uma expressão diferencial total para U como função de T e P, com todas as derivadas parciais expressas em termos de P, V, T e/ou em termos de C_{P} e/ou C_{V}.
b) Aplique a hipótese do comportamento do gás ideal à expressão desenvolvida no item (a);
c) Aplique a hipótese do comportamento do fluído incompressível à expressão desenvolvida no item (a);
d) Aplique a hipótese da expansividade volumétrica e compressibilidade isotérmica constantes à expressão desenvolvida no item (a).

Passo 1

O enunciado pede a expressão diferencial total de U como função de T e P, ou seja
dU = \Bigl(\tfrac{\partial U}{\partial T}\Bigr)_P dT + \Bigl(\tfrac{\partial U}{\partial P}\Bigr)_T dP,
expressando as derivadas parciais em termos de P,V,T e/ou C_P,C_V.

Passo 2

Partimos da identidade termodinâmica
dU = T\,dS - P\,dV
e do diferencial total escrito em \,T,P.

Passo 3

Calculamos
\Bigl(\tfrac{\partial U}{\partial T}\Bigr)_P = T\Bigl(\tfrac{\partial S}{\partial T}\Bigr)_P \;-\; P\Bigl(\tfrac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_P = C_P \;-\; P\Bigl(\tfrac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_P.

Passo 4

Usando a relação de Maxwell
\displaystyle\Bigl(\tfrac{\partial S}{\partial P}\Bigr)_T = -\Bigl(\tfrac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_P
obtemos
\Bigl(\tfrac{\partial U}{\partial P}\Bigr)_T = T\Bigl(\tfrac{\partial S}{\partial P}\Bigr)_T \;-\; P\Bigl(\tfrac{\partial V}{\partial P}\Bigr)_T = -\,T\Bigl(\tfrac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_P \;-\; P\Bigl(\tfrac{\partial V}{\partial P}\Bigr)_T.

Passo 5

Substituindo em dU resulta a forma geral
dU = \bigl[C_P - P\,(\tfrac{\partial V}{\partial T})_P\bigr]\,dT + \bigl[-\,T\,(\tfrac{\partial V}{\partial T})_P \;-\; P\,(\tfrac{\partial V}{\partial P})_T\bigr]\,dP.
Em termos de expansividade volumétrica \alpha=(1/V)(\partial V/\partial T)_P e compressibilidade isotérmica \kappa=-\tfrac1V(\partial V/\partial P)_T, fica
dU = \bigl[C_P - P\,\alpha\,V\bigr]\,dT \;+\;\bigl[\kappa\,P\,V - T\,\alpha\,V\bigr]\,dP.

Passo 6

Para gás ideal ( PV=RT, \alpha=1/T, \kappa=1/P) temos
P\,\alpha\,V = R,\quad \kappa\,P\,V = V
\Bigl(\tfrac{\partial U}{\partial T}\Bigr)_P = C_P - R = C_V, \quad \Bigl(\tfrac{\partial U}{\partial P}\Bigr)_T = V - V = 0
portanto
dU = C_V\,dT.

Passo 7

Para fluido incompressível ( V= constante) valem
(\partial V/\partial T)_P=0 e (\partial V/\partial P)_T=0, logo
dU = C_P\,dT.

Passo 8

Se \alpha e \kappa são constantes, mantemos diretamente
dU = \bigl[C_P - P\,\alpha\,V\bigr]\,dT \;+\;\bigl[\kappa\,P\,V - T\,\alpha\,V\bigr]\,dP.

Resposta

a) \displaystyle dU = \bigl[C_P - P\,(\tfrac{\partial V}{\partial T})_P\bigr]\,dT \;+\;\bigl[-T\,(\tfrac{\partial V}{\partial T})_P \;-\; P\,(\tfrac{\partial V}{\partial P})_T\bigr]\,dP, ou em \alpha,\kappa:
\displaystyle dU = [C_P - P\,\alpha\,V]\,dT + [\kappa\,P\,V - T\,\alpha\,V]\,dP.
b) Gás ideal: \displaystyle dU = C_V\,dT.
c) Fluido incompressível: \displaystyle dU = C_P\,dT.
d) \alpha,\kappa constantes:
\displaystyle dU = [C_P - P\,\alpha\,V]\,dT + [\kappa\,P\,V - T\,\alpha\,V]\,dP.

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