1.20 Para 1,0000 \mathrm{~mol} de \mathrm{N}_{2} gasoso a 0,00^{\circ} \mathrm{C}, os seguintes volumes são observados em função da pressão:
P / \mathrm{atm} 1,0000 3,0000 5,0000
V / \mathrm{cm}^{3} 22405 7461,4 4473,1
Calcule e faça o gráfico de P V T\(contra\)P\(para esses três pontos e extrapole para\)P-0\(de modo a obter\)R.

Passo 1

O enunciado dá volumes de 1{,}0000 mol de \mathrm{N}_2 gasoso a 0{,}00^\circ\mathrm{C} e pressões P=1{,}0000, 3{,}0000 e 5{,}0000,atm. Pede-se o gráfico de PV/T versus P e a extrapolação a P=0 para obter a constante universal dos gases R.
Conteúdo: Lei dos gases ideais
PV = nRT
Logo, \tfrac{PV}{T}=nR em P\to0. Vamos calcular \tfrac{PV}{T} em cada ponto, ajustar uma reta e extrair o intercepto em P=0.

Passo 2

Converter volumes para litros e temperatura para Kelvin:
V_1 = 22405\,\mathrm{cm}^3 = 22{,}405\mathrm{\,L},\quad V_2 = 7461{,}4\,\mathrm{cm}^3 = 7{,}4614\mathrm{\,L},\quad V_3 = 4473{,}1\,\mathrm{cm}^3 = 4{,}4731\mathrm{\,L}.
T = 0{,}00^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 273{,}15\mathrm{\,K}.

Passo 3

Calcular \displaystyle\frac{PV}{T} para cada par (P,V):
\frac{P_1V_1}{T} = \frac{1{,}0000 \times 22{,}405}{273{,}15} = 0{,}08204\;\mathrm{L\,atm\,K^{-1}},
\frac{P_2V_2}{T} = \frac{3{,}0000 \times 7{,}4614}{273{,}15} = 0{,}08192\;\mathrm{L\,atm\,K^{-1}},
\frac{P_3V_3}{T} = \frac{5{,}0000 \times 4{,}4731}{273{,}15} = 0{,}08187\;\mathrm{L\,atm\,K^{-1}}.

Passo 4

Ajustar reta y = a + m\,x a y_i = (PV/T)_i contra x_i=P_i por mínimos quadrados.
Cálculo resumido do coeficiente angular m e do intercepto a:
m = \frac{\sum_i (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum_i (x_i-\bar x)^2} \approx -4,25\times10^{-5}\;\mathrm{L\,atm\,K^{-1}\,atm^{-1}},
a = \bar y - m\,\bar x \approx 0{,}08207\;\mathrm{L\,atm\,K^{-1}}.
A reta ajustada é
\frac{PV}{T} = 0{,}08207 - 4{,}25\times10^{-5}\,P.

Passo 5

Em P=0 vale \tfrac{PV}{T}=a. Como n=1{,}0000 mol, temos
nR = a \quad\Longrightarrow\quad R = a = 0{,}08207\;\mathrm{L\,atm\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Resposta

R = 0{,}08207\;\mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}

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