Uma bomba de calor consome 1 kW de potência e deve manter uma residência a 20^circ C. A taxa de transferência de calor da residência para a rua (através das paredes e do teto) é de 3 MJ / h para cada grau de diferença de temperaturas entre o interior e o exterior da residência. Determine a temperatura externa mínima teórica que permitiria que as especificações de aquecimento ainda sejam atendidas.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos uma bomba de calor que consome 1 kW de potência elétrica e precisa manter a casa a 20 °C. A casa perde calor para o lado de fora por taxa de 3 MJ/h para cada grau de diferença entre dentro e fora. A pergunta é: qual é a temperatura externa mínima, na teoria (ou seja, usando o COP de Carnot), que ainda permite suprir essa perda?
Conteúdo: transferência de calor, COP (coeficiente de desempenho) de uma bomba de calor ideal (ciclo de Carnot) e conversões de unidades. Vamos precisar:
  • Converter 3 MJ/h para kW.
  • Usar COP de Carnot: COP = TquenteTquente - Tfrio com temperaturas em kelvin.
  • Igualar a potência térmica fornecida ao escritório com a potência térmica perdida.

Passo 2

Primeiro, converte a taxa de perda de calor:
3 MJ/h por grau de ΔT é
3,MJ/h = 3times10^6,J3600,s approx 833,3,J/s = 0,8333,kW
Logo, se a diferença de temperatura entre dentro (20 °C) e fora (T_e em °C) for ΔT = (20 – T_e), a perda é
Qrm perda = 0,8333,(20 - Te);kW

Passo 3

Para uma bomba de calor ideal (Carnot), o COP vale
COP = Trm quenteTrm quente - Trm frio,
onde
T_quente = 20 °C = 293 K
T_frio = T_e + 273 (em kelvin).
Então
COP = 293293 - (Te+273) = 29320 - Te
A potência térmica que a bomba entrega é
Qrm entrega = COPtimes 1,kW = 29320 - Te,kW

Passo 4

Pra manter o equilíbrio, a potência entregue tem que ser pelo menos a perda:
29320 - Te >= 0,8333,(20 - Te)
Multiplica ambos os lados por (20 – T_e):
293 >= 0,8333,(20 - Te)^2
Isolando:
(20 - Te)^2 <= 2930,8333 approx 351,6
Tirando raiz:
20 - Te <= raiz351,6 approx 18,75
Logo
Te >= 20 - 18,75 = 1,25;^circC

Resposta

A temperatura externa mínima teórica é cerca de 1,25 °C.

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