3.5
Calculate \Delta H and \Delta S_{\text {tot }} when two iron blocks, each of mass 1.00 kg , one at 200^{\circ} \mathrm{C} and the other at 25^{\circ} \mathrm{C}, are placed in contact in an isolated container. The specific heat capacity of iron is 0.449 \mathrm{~J} \mathrm{~K}^{-1} \mathrm{~g}^{-1} and may be assumed constant over the temperature range involved.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (já coloco tudo explicitamente para não haver confusão):
  • Massa do bloco quente: m_1=1{,}00\\ \mathrm{kg}.
  • Massa do bloco frio: m_2=1{,}00\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura inicial do bloco quente: T_{1,i}=200^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura inicial do bloco frio: T_{2,i}=25^\circ\mathrm{C}.
  • Capacidade térmica específica do ferro (assumida constante): c=0{,}449\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,g^{-1}}.
O que o enunciado pede:
  • Calcular \Delta H do processo (variação de entalpia total do sistema).
  • Calcular \Delta S_{\text{tot}} (variação total de entropia do sistema formado pelos dois blocos).
Observações úteis já aqui:
  • Cada massa é 1{,}00\\ \mathrm{kg}=1000\\ \mathrm{g}, porque o c foi dado por grama.
  • Temperaturas em fórmulas termodinâmicas de entropia devem ser em kelvin; portanto é preciso converter as temperaturas dadas para kelvin.
  • O recipiente é isolado: não há troca de calor com o ambiente. Isso implica conservação de energia interna (o calor perdido por um bloco é ganho pelo outro).

Passo 2

Determinar a temperatura final de equilíbrio T_f.
Motivação e método (passo a passo didático):
  • Em um processo isolado sem trabalho mecânico e com calor trocado apenas entre os dois blocos, a conservação de energia dá que o calor perdido pelo bloco mais quente é igual ao calor ganho pelo bloco mais frio.
  • Para calor a pressão (solidos) com c constante, o calor trocado por um corpo é q=m c \Delta T, com \Delta T=T_f-T_i.
  • Logo, impondo conservação de energia:
m_1 c (T_f - T_{1,i}) + m_2 c (T_f - T_{2,i}) = 0.
  • Isolando T_f:
(m_1+m_2)c\,T_f = m_1 c T_{1,i} + m_2 c T_{2,i} \quad\Rightarrow\quad T_f = \frac{m_1 T_{1,i} + m_2 T_{2,i}}{m_1+m_2}.
  • Como m_1=m_2, isso simplifica para a média aritmética:
T_f = \frac{T_{1,i}+T_{2,i}}{2}.
Cálculo numérico (conversão para kelvin só necessária para entropia; aqui usamos valores em °C porque diferença preserva média, mas vamos já mostrar T_f em °C e em K):
T_f = \frac{200^\circ\mathrm{C}+25^\circ\mathrm{C}}{2}=112{,}5^\circ\mathrm{C}.
Converter para kelvin:
T_{1,i}=200^\circ\mathrm{C}=473{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_{2,i}=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_f=112{,}5^\circ\mathrm{C}=385{,}65\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Calcular \Delta H (variação total de entalpia do sistema).
Conceito e fórmula:
  • Para um sólido a pressão constante com c constante, a variação de entalpia de um corpo ao mudar de temperatura é dada por \Delta H = m c \Delta T.
  • A variação total de entalpia do sistema é a soma das variações dos dois blocos:
\Delta H_{\text{tot}} = m_1 c (T_f-T_{1,i}) + m_2 c (T_f-T_{2,i}).
  • Mas isto é exatamente a mesma expressão da conservação de energia escrita no Passo 2, que foi igual a zero (processo isolado). Portanto espera-se \Delta H_{\text{tot}}=0.
Cálculo explícito (mostrando números para que dê para conferir na prova):
  • Converter massa para gramas porque c está em \mathrm{J\,K^{-1}\,g^{-1}}:
m_1=m_2=1{,}00\\ \mathrm{kg}=1000\\ \mathrm{g}.
  • Calcular cada termo (opcional para checar):
\Delta H_1 = m_1 c (T_f-T_{1,i}) = 1000\cdot 0{,}449\cdot(385{,}65-473{,}15)\\ \mathrm{J},
\Delta H_2 = m_2 c (T_f-T_{2,i}) = 1000\cdot 0{,}449\cdot(385{,}65-298{,}15)\\ \mathrm{J}.
  • Numericamente os dois têm módulos iguais e sinais opostos, logo
\Delta H_{\text{tot}}=\Delta H_1+\Delta H_2=0\\ \mathrm{J}.
Interpretação física curta: o calor perdido por um bloco é exatamente igual ao calor ganho pelo outro; como o sistema é isolado não há troca de entalpia com o exterior.

Passo 4

Calcular a variação total de entropia \Delta S_{\text{tot}}.
Conceito e derivação didática:
  • A entropia de um corpo que troca calor reversivelmente é \Delta S=\displaystyle\int_{T_i}^{T_f}\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
  • Para um corpo com calor específico c (constante) e massa m, a troca reversível diferencial é \delta Q_{\text{rev}} = m c\, dT. Assim
\Delta S = \int_{T_i}^{T_f} \frac{m c\, dT}{T} = m c \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right).
  • É crucial usar temperaturas em kelvin nessa fórmula.
Aplicação aos dois blocos:
  • Para o bloco quente (que esfria):
\Delta S_1 = m_1 c \ln\!\left(\frac{T_f}{T_{1,i}}\right).
  • Para o bloco frio (que aquece):
\Delta S_2 = m_2 c \ln\!\left(\frac{T_f}{T_{2,i}}\right).
  • A variação total de entropia do sistema é
\Delta S_{\text{tot}}=\Delta S_1+\Delta S_2.
Cálculo numérico (usar m=1000\\ \mathrm{g}, c=0{,}449\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,g^{-1}} e temperaturas em kelvin):
  • Primeiro calcule o produto m c para cada bloco:
m c = 1000\cdot 0{,}449 = 449{,}0\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Agora os logaritmos:
\Delta S_1 = 449{,}0\cdot \ln\!\left(\frac{385{,}65}{473{,}15}\right).
Calcule a razão e o ln:
\frac{385{,}65}{473{,}15}\approx 0{,}8151,\qquad \ln(0{,}8151)\approx -0{,}2047.
Logo
\Delta S_1 \approx 449{,}0\times(-0{,}2047)\approx -91{,}9\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
\Delta S_2 = 449{,}0\cdot \ln\!\left(\frac{385{,}65}{298{,}15}\right).
Calcule a razão e o ln:
\frac{385{,}65}{298{,}15}\approx 1{,}2939,\qquad \ln(1{,}2939)\approx 0{,}2576.
Logo
\Delta S_2 \approx 449{,}0\times 0{,}2576\approx 115{,}6\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Somando:
\Delta S_{\text{tot}} = \Delta S_1+\Delta S_2 \approx -91{,}9 + 115{,}6 = 23{,}7\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Comentário físico: \Delta S_{\text{tot}}>0, como manda a segunda lei (processo irreversível de calor fluindo de quente para frio). A entropia total do sistema isolado aumenta.

Passo 5

Verificação de ordem de grandeza e algarismos significativos:
  • Os dados têm no máximo três algarismos significativos (por exemplo, 1{,}00\\ \mathrm{kg}), então é razoável dar as respostas com três algarismos significativos.
  • Assim mantemos \Delta S_{\text{tot}}\approx 23{,}7\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Resposta

\Delta H = 0\\ \mathrm{J}
\Delta S_{\text{tot}} = 23{,}7\\ \mathrm{J\,K^{-1}}

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