Calculate the molar entropy of a constant-volume sample of argon at 250 K given that it is 154.84 \mathrm{~J} \mathrm{~K}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1} at 298 K.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se a entropia molar de uma amostra de argônio à temperatura \,250\\ \text{K}.
  • Foi dada a entropia molar à temperatura \,298\\ \text{K}: \,S(298\\ \text{K}) = 154,84\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}}.
  • Condição do processo: volume constante (isochorico).
  • Informação implícita que vamos usar: argônio é um gás monoatômico que, para essa faixa de temperatura, pode ser tratado como gás ideal com capacidade calorífica molar à volume constante aproximadamente constante.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (aula rápida):
  • A variação de entropia de um sistema ao variar a temperatura a volume constante é dada por
\Delta S=\int_{T_1}^{T_2}\frac{C_{V,m}}{T}\,dT,
onde:
  • \,C_{V,m} é a capacidade calorífica molar à volume constante (unidade: \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}});
  • \,T é a temperatura absoluta em kelvin;
  • \,S(T) é a entropia molar na temperatura T.
  • Se \,C_{V,m} for aproximadamente constante no intervalo considerado, a integral simplifica para
\Delta S = C_{V,m}\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
  • Para um gás monoatômico ideal (como o argônio), a teoria cinética dá
C_{V,m}=\tfrac{3}{2}R,
onde \,R é a constante dos gases ideais. Vou usar \,R=8,314462618\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}} (valor padrão).

Passo 3

Calcular numericamente \,C_{V,m} para o argônio:
C_{V,m}=\tfrac{3}{2}R=\tfrac{3}{2}\times 8,314462618\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}}=12,47169393\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}}.
(Arredondo quando necessário nas contas seguintes; unidade confirmada.)

Passo 4

Expressar a relação entre as entropias em \,298\\ \text{K} e \,250\\ \text{K}:
  • Tomando T_1=298\\ \text{K} (estado com entropia conhecida) e T_2=250\\ \text{K} (estado desejado),
S(250\\ \text{K})-S(298\\ \text{K})=C_{V,m}\ln\!\left(\frac{250}{298}\right).
  • Assim
S(250\\ \text{K})=S(298\\ \text{K})+C_{V,m}\ln\!\left(\frac{250}{298}\right).

Passo 5

Calcular o logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{250}{298}\right)=\ln(250)-\ln(298)\approx 5,521460918-5,697089500\approx -0,175628582.

Passo 6

Calcular a variação de entropia \Delta S:
\Delta S = C_{V,m}\ln\!\left(\frac{250}{298}\right) =12,47169393\times(-0,175628582)\approx -2,1898\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}}.

Passo 7

Calcular a entropia final em \,250\\ \text{K}:
S(250\\ \text{K})=154,84 + (-2,1898)\approx 152,6502\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}}.
Arredondando de forma coerente com os dados (duas casas decimais dadas), obtemos \approx 152,65\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}}.

Passo 8

Cheque físico rápido e encorajamento:
  • Sinais fazem sentido: ao diminuir a temperatura (à volume constante) a entropia diminui, então o resultado menor que 154,84 está correto.
  • Boa notícia: o método é direto e aplicável em prova: usar C_{V,m}=\tfrac{3}{2}R para gases monoatômicos e integrar \int C_V/T.

Resposta

152,65\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}}

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