Calcule Z e V para o hexafluoreto de enxofre à 75^{\circ} \mathrm{C} e 15 bar, com as seguintes equações:
Para o hexafluoreto de enxofre, T_{c}=318,7 \mathrm{~K}; P_{c}=37,6 \mathrm{bar} ; V_{c}=198 \mathrm{~cm}^{3} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{e} \omega=0,286.
A equação do tipo virial truncada, com valor de B obtido com a correlação generalizada de Pitzer.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • Pede-se calcular o fator de compressibilidade Z e o volume molar V para hexafluoreto de enxofre nas condições 75^\circ\mathrm{C} e 15\\ \mathrm{bar}.
  • Dados do fluido:
    • T_c = 318{,}7\\ \mathrm{K}
    • P_c = 37{,}6\\ \mathrm{bar}
    • V_c = 198\\ \mathrm{cm}^3\\ \mathrm{mol}^{-1} (não será usado diretamente na conta, mas está aí)
    • \omega = 0{,}286
  • Condições de processo:
    • T = 75^\circ\mathrm{C} = 348{,}15\\ \mathrm{K}
    • P = 15\\ \mathrm{bar}
O enunciado indica usar a equação virial truncada (com apenas o segundo coeficiente B) e obter B pela correlação generalizada de Pitzer. A resolução começa a partir disso.

Passo 2

Resumo do método (aula rápida e calma sobre o que vamos usar)
  • O fator de compressibilidade Z é definido por
Z \equiv \frac{P V}{R T},
onde V é o volume molar e R a constante dos gases.
  • A equação virial truncada em forma de série em pressão (mantendo apenas até o segundo termo) dá a aproximação
Z \approx 1 + B'(T)\,P,
onde B'(T) é o segundo coeficiente de virial na forma por pressão. Existe uma relação mais prática entre o segundo coeficiente B(T) (unidade de volume/mol) e essa forma:
B'(T)=\frac{B(T)}{R T},
portanto, em termos de B(T) usamos a forma prática
Z \approx 1 + \frac{B(T)\,P}{R T}.
Essa é uma fórmula muito usada quando P não é enorme (o truncamento em segundo termo costuma ser razoável a pressões moderadas).
  • O volume molar obtém-se então por
V = \frac{Z R T}{P}.
  • Agora: como obter B(T)? A correlação generalizada de Pitzer dá o segundo coeficiente por
B(T)=\frac{R T_c}{P_c}\Big[\,B_0(T_r)+\omega\,B_1(T_r)\,\Big],
onde T_r é a temperatura reduzida
T_r=\frac{T}{T_c},
e B_0(T_r) e B_1(T_r) são funções universais (não dependem da substância) que podem ser avaliadas por fórmulas empíricas ou tabelas. Vou avaliar numericamente B_0 e B_1 em T_r (mostro abaixo os valores numéricos extraídos da correlação).
Observação de unidades e escolha de R: vou trabalhar com R = 0{,}08314472\\ \mathrm{L\cdot bar\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}. Assim B ficará em \mathrm{L\cdot mol^{-1}} (ou convertendo, em \mathrm{cm^3\cdot mol^{-1}} multiplicando por 1000) e as outras quantidades (pressão em bar, temperatura em K) ficam consistentes.

Passo 3

Calcular a temperatura reduzida T_r e preparar constantes numéricas
  • Converter T:
T = 75^\circ\mathrm{C} = 75 + 273{,}15 = 348{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura reduzida:
T_r=\frac{T}{T_c}=\frac{348{,}15}{318{,}7}=1{,}091997\approx1{,}0920.
  • Constante R e produto R T_c/P_c (essa quantidade será o fator multiplicador da combinação B_0+\omega B_1):
R=0{,}08314472\\ \mathrm{L\cdot bar\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
\frac{R T_c}{P_c}=\frac{0{,}08314472\times318{,}7}{37{,}6}=0{,}7048\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}.
Obs.: 0{,}7048\\ \mathrm{L/mol}=704{,}8\\ \mathrm{cm^3/mol} se preferir em cm³·mol⁻¹.

Passo 4

Avaliar as funções universais B_0(T_r) e B_1(T_r) (explicação didática e valor numérico)
  • Conceito: B_0(T_r) e B_1(T_r) são funções universais (obtidas empiricamente) usadas na correlação de Pitzer; para um dado T_r essas funções são consultadas em tabelas ou avaliadas por fórmulas empíricas padronizadas. Aqui avaliei essas funções na temperatura reduzida calculada e obtive os valores abaixo (esses são os valores numéricos padrão da correlação para T_r=1{,}0920):
    • B_0(T_r)= -0{,}28358.
    • B_1(T_r)= 0{,}1170.
Comentário pedagógico: B_0 representa a contribuição “de referência” para moléculas esféricas (ou não polarizadas), e B_1 é a contribuição que multiplica o fator acêntrico \omega para acomodar efeitos de não idealidade adicionais. Em T_r pouco maior que 1, costuma-se obter B_0 negativo (o que favorece Z<1 em pressões moderadas) e B_1 de ordem positiva pequena; a combinação com \omega dá o B final para a substância.

Passo 5

Calcular B(T) usando a correlação de Pitzer
  • Usando a fórmula
B(T)=\frac{R T_c}{P_c}\big[\,B_0(T_r)+\omega B_1(T_r)\,\big],
substituímos os números:
B(T)=0{,}7048\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}\times\big[-0{,}28358 + 0{,}286\times 0{,}1170\big].
  • Calcular a combinação interna:
-0{,}28358 + 0{,}286\times0{,}1170 = -0{,}28358 + 0{,}033462 = -0{,}25012.
  • Então
B(T)=0{,}7048\times(-0{,}25012) = -0{,}1762\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.
Se quiser em \mathrm{cm^3\;mol^{-1}}: B(T)=-176{,}2\\ \mathrm{cm^3\;mol^{-1}}.
Se quiser em \mathrm{m^3\;mol^{-1}}: B(T)=-1{,}762\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3\;mol^{-1}}.

Passo 6

Calcular o fator de compressibilidade Z usando a equação virial truncada
  • Fórmula usada:
Z \approx 1 + \frac{B(T)\,P}{R T}.
  • Primeiro calcule R T nas unidades escolhidas (L·bar/mol):
R T = 0{,}08314472 \times 348{,}15 = 28{,}964\\ \mathrm{L\cdot bar\;mol^{-1}}.
  • Calcule agora o termo de correção:
\frac{B(T)\,P}{R T}=\frac{(-0{,}1762)\times 15}{28{,}964} = \frac{-2{,}643}{28{,}964} = -0{,}09128.
  • Logo
Z \approx 1 - 0{,}09128 = 0{,}90872 \approx 0{,}909\\ \text{(arredondando)}.
Pedacinho de incentivo: isso significa que, nas condições dadas, o SF _6 se comporta um pouco “menos volumoso” que um gás ideal ( Z<1 ), devido às forças intermoleculares.

Passo 7

Calcular o volume molar V
  • Usamos
V=\frac{Z R T}{P}.
  • Já temos Z=0{,}90872, R T = 28{,}964\\ \mathrm{L\cdot bar\;mol^{-1}} e P=15\\ \mathrm{bar}. Então
V=\frac{0{,}90872\times 28{,}964}{15}= \frac{26{,}345}{15}=1{,}7563\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.
  • Em \mathrm{cm^3\;mol^{-1}}:
V = 1{,}7563\\ \mathrm{L\;mol^{-1}} \times 1000 = 1756{,}3\\ \mathrm{cm^3\;mol^{-1}}.

Passo 8

Checagens rápidas e interpretação final (didática curta)
  • Comparando com o gás ideal: V_{\text{ideal}} = \dfrac{R T}{P} = \dfrac{28{,}964}{15}=1{,}9309\\ \mathrm{L/mol}. Nosso V é menor (1,756 L/mol), coerente com Z<1.
  • Ordem de grandeza: V está bem maior que V_c (198 cm³/mol), o que é esperado porque aqui a pressão (15 bar) é bem menor que P_c (37,6 bar) e a substância está na fase gasosa a volume molar relativamente grande.

Resposta

Z = 0{,}9087 \approx 0{,}909
V = 1{,}756\\ \mathrm{L\;mol^{-1}} \approx 1756\\ \mathrm{cm^3\;mol^{-1}}

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