Calcule Z e V para o hexafluoreto de enxofre à 75^{\circ} \mathrm{C} e 15 bar, com as seguintes equações:
Para o hexafluoreto de enxofre, T_{c}=318,7 \mathrm{~K}; P_{c}=37,6 \mathrm{bar} ; V_{c}=198 \mathrm{~cm}^{3} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{e} \omega=0,286.
A equação de Redlich/Kwong.

Passo 1

O enunciado pede calcular a fator de compressibilidade Z e o volume molar V do hexafluoreto de enxofre nas condições dadas. Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • Temperatura: T = 75^{\circ}\mathrm{C} = 348{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão: P = 15\\ \mathrm{bar}.
  • Temperatura crítica: T_c = 318{,}7\\ \mathrm{K}.
  • Pressão crítica: P_c = 37{,}6\\ \mathrm{bar}.
  • Volume crítico: V_c = 198\\ \mathrm{cm}^3\\ \mathrm{mol}^{-1} = 0{,}198\\ \mathrm{L}\\ \mathrm{mol}^{-1}.
  • Fator acêntrico: \omega = 0{,}286 (não é usado na equação de Redlich–Kwong clássica).
    O enunciado pede que se use a equação de Redlich–Kwong (RK) para obter Z e V.

Passo 2

Apresentar a equação de Redlich–Kwong e as constantes que vamos usar.
A equação de Redlich–Kwong escrita em termos de P e V é:
P=\frac{R T}{V-b}-\frac{a}{\sqrt{T}\;V\,(V+b)},
onde R é a constante universal dos gases, e os parâmetros a e b são dados (na forma original de RK) por:
a = 0{,}42748\;\frac{R^{2} T_{c}^{2{,}5}}{P_{c}}, \qquad b = 0{,}08664\;\frac{R T_{c}}{P_{c}}.
Explicando o que cada símbolo significa:
  • P: pressão (aqui em \mathrm{bar});
  • T: temperatura absoluta em \mathrm{K};
  • V: volume molar em \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1};
  • R: constante dos gases em unidades compatíveis com \mathrm{bar} e \mathrm{L} (uso R=0{,}08314472\\ \mathrm{L\,bar\,K^{-1}\,mol^{-1}});
  • a e b: parâmetros da RK (unidades: a em \mathrm{L}^2\mathrm{bar}\,\mathrm{mol}^{-2}, b em \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}).

Passo 3

Converter unidades necessárias e calcular constantes intermediárias.
  • Converter V_c para litros: V_c=198\\ \mathrm{cm}^3\\ \mathrm{mol}^{-1}=0{,}198\\ \mathrm{L}\\ \mathrm{mol}^{-1}.
  • Constante dos gases escolhida: R=0{,}08314472\\ \mathrm{L\,bar\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
  • Temperatura absoluta: T=348{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Raiz quadrada da temperatura (usada no termo RK): \sqrt{T}\approx 18{,}655\\ \mathrm{K}^{1/2}.

Passo 4

Calcular a e b numericamente (mostrando as contas passo a passo).
Calcular b:
b = 0{,}08664\;\frac{R T_c}{P_c} =0{,}08664\;\frac{0{,}08314472\cdot 318{,}7}{37{,}6}.
Primeiro R T_c = 0{,}08314472\cdot 318{,}7 \approx 26{,}4982.
Então
b \approx 0{,}08664\;\frac{26{,}4982}{37{,}6} \approx 0{,}08664\cdot 0{,}7049 \approx 0{,}06106\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.
Calcular a:
a = 0{,}42748\;\frac{R^{2} T_{c}^{2{,}5}}{P_{c}}.
Calcula-se T_c^{2{,}5}=T_c^{2}\sqrt{T_c}=318{,}7^{2}\sqrt{318{,}7}\approx 1{,}813\times 10^{6}.
Também R^{2}\approx 0{,}00691304.
Logo o numerador R^{2}T_c^{2{,}5}\approx 0{,}00691304\cdot 1{,}813\times10^{6}\approx 1{,}254\times10^{4}.
Então
a \approx 0{,}42748\;\frac{1{,}254\times10^{4}}{37{,}6} \approx 0{,}42748\cdot 333{,}51 \approx 142{,}56\\ \mathrm{L^{2}\,bar\,mol^{-2}}.
(Síntese: a\approx 142{,}56\\ \mathrm{L^{2}bar\,mol^{-2}}, b\approx 0{,}06106\\ \mathrm{L\,mol^{-1}}.)

Passo 5

Preparar a resolução numérica para encontrar V (explicando a estratégia).
A equação RK é implícita em V. Para achar V numérico usa-se método iterativo (bissecção, Newton, secante). Vou usar uma estratégia simples e robusta: começar com a estimativa do gás ideal
V_{\text{ideal}}=\frac{R T}{P},
usar isso como palpite inicial e em seguida ajustar V avaliando
f(V)=\frac{R T}{V-b}-\frac{a}{\sqrt{T}\,V\,(V+b)}-P,
procurando f(V)=0. Esse f(V) é a diferença entre a pressão prevista pela RK para um dado V e a pressão real; para o V correto essa diferença é zero. Método: procurar um intervalo que contenha a raiz (sinal trocado) e refinar por bissecção/iteração até convergência.
Cálculo do palpite inicial (gás ideal):
V_{\text{ideal}}=\frac{R T}{P}=\frac{0{,}08314472\cdot 348{,}15}{15}\approx\frac{28{,}9468}{15}\approx 1{,}9298\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.
Avaliar f(V_{\text{ideal}}) para ver se precisamos diminuir ou aumentar V.

Passo 6

Iterações numéricas (mostrando as iterações principais, até convergência razoável).
Avaliação rápida em alguns pontos (vou mostrar as contas arredondadas, mantendo coerência):
  1. V=V_{\text{ideal}}=1{,}9298\\ \mathrm{L/mol}.
\frac{RT}{V-b}=\frac{28{,}9468}{1{,}9298-0{,}06106}=\frac{28{,}9468}{1{,}8687}\approx 15{,}494\\ \mathrm{bar},
\frac{a}{\sqrt{T}\,V\,(V+b)}=\frac{142{,}56}{18{,}655\cdot 1{,}9298\cdot 1{,}9909}\approx 1{,}989\\ \mathrm{bar}.
Logo P_{\text{RK}}=15{,}494-1{,}989=13{,}505\\ \mathrm{bar}<15\\ \mathrm{bar}, então devemos diminuir V (para aumentar P_{\text{RK}}).
  1. Teste V=1{,}7\\ \mathrm{L/mol}:
\frac{RT}{V-b}\approx\frac{28{,}9468}{1{,}7-0{,}06106}=\frac{28{,}9468}{1{,}6389}\approx 17{,}66\\ \mathrm{bar},
\frac{a}{\sqrt{T}\,V\,(V+b)}\approx\frac{142{,}56}{18{,}655\cdot 1{,}7\cdot 1{,}76106}\approx 2{,}554\\ \mathrm{bar},
P_{\text{RK}}=17{,}66-2{,}554=15{,}106\\ \mathrm{bar}\\ (>15\\ \mathrm{bar}),
logo a raiz está entre 1{,}7 e 1{,}9298.
  1. Refino por interpolação/bissecção entre V=1{,}7 e V=1{,}8. Teste V=1{,}71:
\frac{RT}{V-b}\approx 17{,}526\\ \mathrm{bar},\qquad \frac{a}{\sqrt{T}\,V\,(V+b)}\approx 2{,}519\\ \mathrm{bar},
P_{\text{RK}}=17{,}526-2{,}519=15{,}007\\ \mathrm{bar}.
Muito próximo de 15\\ \mathrm{bar}. Então V está muito próximo de 1{,}71\\ \mathrm{L/mol}.
  1. Refinando um pouco mais: V=1{,}714\\ \mathrm{L/mol}:
\frac{RT}{V-b}\approx 17{,}5126\\ \mathrm{bar}, \qquad \frac{a}{\sqrt{T}\,V\,(V+b)}\approx 2{,}5128\\ \mathrm{bar},
P_{\text{RK}}=17{,}5126-2{,}5128\approx 14{,}9998\\ \mathrm{bar}\approx 15\\ \mathrm{bar}.
Convergência alcançada com erro residual desprezível. Assim tomamos
V \approx 1{,}714\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.

Passo 7

Calcular o fator de compressibilidade Z a partir do V encontrado e comentar o resultado.
Definição:
Z=\frac{P V}{R T}.
Substituindo P=15\\ \mathrm{bar}, V=1{,}714\\ \mathrm{L/mol} e R T=28{,}9468\\ \mathrm{L\,bar\,mol^{-1}}:
Z=\frac{15\cdot 1{,}714}{28{,}9468}\approx \frac{25{,}71}{28{,}9468}\approx 0{,}8886.
Interpretação curta e incentivadora: Z<1 indica que, nas condições dadas, as forças atrativas dominam um pouco sobre as repulsivas (o gás está mais “compressível” que o ideal). O valor encontrado é razoável para um gás pesado como o \mathrm{SF_6} a pressão moderada.

Resposta

Z \approx 0{,}8886
V \approx 1{,}714\\ \mathrm{L\;mol^{-1}} (ou 1714\\ \mathrm{cm^{3}\;mol^{-1}})

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