Calcule a pressão exercida
Por 1,0 \mathrm{~mol} de \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{4}, comportando-se como um gás de van der Waals, quando está confinado nas seguintes condições: (i) a 273,15 \mathrm{~K} em 22,414 dm3, (ii) a 1000 K em 100 cm 3 .
Dados:
a\left(\mathrm{atm} \mathrm{dm}^{6} \mathrm{~mol}^{-2}\right) b\left(10^{-2} \mathrm{dm}^{3} \mathrm{~mol}^{-1}\right)
\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{4} 4,55 5,82
\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6} 5,507 6,51
\mathrm{CH}_{4} 14,61 4,31

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos (peguei estes números da tabela do enunciado):
  • Pedem a pressão exercida por 1{,}0 mol de \mathrm{C}_2\mathrm{H}_4 tratada como gás de van der Waals em duas situações:
    1. T=273{,}15\\ \mathrm{K} e V=22{,}414\\ \mathrm{dm}^3.
    2. T=1000\\ \mathrm{K} e V=100\\ \mathrm{cm}^3.
  • Da tabela (valores para \mathrm{C}_2\mathrm{H}_4) — estou explicitando como peguei os valores:
    • a = 4{,}55\\ \mathrm{atm\;dm}^6\mathrm{\;mol}^{-2} (peguei da coluna a).
    • b = 5{,}82 na coluna que está indicada como \left(10^{-2}\\ \mathrm{dm}^3\\ \mathrm{mol}^{-1}\right). Portanto o valor real de b é b = 5{,}82\times 10^{-2}\\ \mathrm{dm}^3\mathrm{\;mol}^{-1} = 0{,}0582\\ \mathrm{dm}^3\mathrm{\;mol}^{-1}.
  • Número de mols: n=1{,}0\\ \mathrm{mol}.
  • Notas de conversão que vou usar (mostro explicitamente):
    • 1\\ \mathrm{L}=1\\ \mathrm{dm}^3.
    • 100\\ \mathrm{cm}^3 = 0{,}100\\ \mathrm{dm}^3.
  • Vou usar a constante dos gases em unidades compatíveis com pressão em atm e volume em \mathrm{dm}^3:
    R = 0{,}082057\\ \mathrm{atm\;dm}^3\mathrm{\;mol}^{-1}\mathrm{\;K}^{-1}.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicação didática do que é cada termo):
  • A equação de van der Waals para n mols é \left(P + \frac{a n^{2}}{V^{2}}\right)\left(V - n b\right) = n R T.Onde:
    • P é a pressão (o que queremos encontrar).
    • V é o volume total ocupado pelo gás.
    • T é a temperatura absoluta (K).
    • n é o número de mols.
    • R é a constante dos gases ideais (aqui em \mathrm{atm\;dm}^3\mathrm{mol}^{-1}\mathrm{K}^{-1}).
    • a corrige as forças atrativas entre moléculas (unidade \mathrm{atm\;dm}^6\mathrm{mol}^{-2}); termo \dfrac{a n^2}{V^2} diminui a pressão efetiva.
    • b corrige o volume ocupado pelas próprias moléculas (unidade \mathrm{dm}^3\mathrm{mol}^{-1}); subtrai-se n b do volume disponível.
  • Para n=1 a equação isolada para P fica mais simples: P = \frac{R T}{V - b} - \frac{a}{V^{2}}.Vou usar exatamente essa forma para ambos os casos.

Passo 3

Conferência de unidades e conversões antes de calcular:
  • Peguei b = 0{,}0582\\ \mathrm{dm}^3\mathrm{mol}^{-1} da tabela (expliquei isso no Passo 1).
  • Para o caso (ii) converto o volume: V_{\text{(ii)}} = 100\\ \mathrm{cm}^3 = 0{,}100\\ \mathrm{dm}^3.
  • Constante R = 0{,}082057\\ \mathrm{atm\;dm}^3\mathrm{mol}^{-1}\mathrm{K}^{-1} compatível com as unidades de a, b, V e P.
  • Em ambos os casos n=1, então uso diretamente a fórmula do Passo 2.

Passo 4

Cálculo detalhado do caso (i): T=273{,}15\\ \mathrm{K}, V=22{,}414\\ \mathrm{dm}^3.
  1. Calcular R T:
    R T = 0{,}082057\times 273{,}15 = 22{,}4139\\ \mathrm{atm\;dm}^3\mathrm{mol}^{-1}.
    (Este número é o volume molar ideal à temperatura 273{,}15\\ \mathrm{K} multiplicado por 1\\ \mathrm{atm}, por isso lembra 22{,}414.)
  2. Calcular V - b:
    V - b = 22{,}414 - 0{,}0582 = 22{,}3558\\ \mathrm{dm}^3.
  3. Primeiro termo: \dfrac{R T}{V - b}:
    \frac{R T}{V - b} = \frac{22{,}4139}{22{,}3558} = 1{,}002607\\ \mathrm{atm}\\ \text{(aprox.)}.
  4. Segundo termo: \dfrac{a}{V^{2}}:
    • Calculo V^{2}: V^{2} = (22{,}414)^{2} = 502{,}385\\ \mathrm{dm}^6\\ \text{(aprox.)}.
    • Então \frac{a}{V^{2}} = \frac{4{,}55}{502{,}385} = 0{,}009062\\ \mathrm{atm}\\ \text{(aprox.)}.
  5. Pressão van der Waals:
    P = 1{,}002607 - 0{,}009062 = 0{,}993545\\ \mathrm{atm}.
  6. Interpretação rápida (didática): o valor ideal (sem correções) seria \dfrac{R T}{V} = \dfrac{22{,}4139}{22{,}414} \approx 1{,}0000\\ \mathrm{atm}. A correção de van der Waals reduz levemente a pressão para cerca de 0{,}994\\ \mathrm{atm} porque o termo \dfrac{a}{V^2} (atrações) domina ligeiramente sobre o efeito de exclu-são de volume aqui.

Passo 5

Cálculo detalhado do caso (ii): T=1000\\ \mathrm{K}, V=100\\ \mathrm{cm}^3 = 0{,}100\\ \mathrm{dm}^3.
  1. Calcular R T:
    R T = 0{,}082057\times 1000 = 82{,}057\\ \mathrm{atm\;dm}^3\mathrm{mol}^{-1}.
  2. Calcular V - b:
    V - b = 0{,}100 - 0{,}0582 = 0{,}0418\\ \mathrm{dm}^3.
    Observação: aqui V-b é bem menor que V porque b não é desprezível diante do volume pequeno — isso faz a pressão subir bastante.
  3. Primeiro termo: \dfrac{R T}{V - b}:
    \frac{R T}{V - b} = \frac{82{,}057}{0{,}0418} \approx 1{,}963{,}100\\ \mathrm{atm}\\ \text{(aprox.)}.
  4. Segundo termo: \dfrac{a}{V^{2}}:
    V^{2} = (0{,}100)^{2} = 0{,}0100\\ \mathrm{dm}^6,
\frac{a}{V^{2}} = \frac{4{,}55}{0{,}0100} = 455{,}0\\ \mathrm{atm}.
  1. Pressão van der Waals:
    P = 1{,}963{,}100 - 455{,}0 = 1{,}508{,}100\\ \mathrm{atm}\\ \text{(aprox.)}.
  2. Interpretação rápida (didática): o valor é enorme (ordem de 10^{3}\\ \mathrm{atm}) porque o volume é muito pequeno. O termo \dfrac{R T}{V-b} cresce muito quando V-b é pequeno; apesar de o termo \dfrac{a}{V^{2}} também ser grande, ele não compensa totalmente. Na prática, pressões tão altas podem ultrapassar a validade prática do modelo, mas matematicamente esse é o resultado pelo modelo de van der Waals.

Resposta

(i) P \approx 0,994\\ \mathrm{atm}
(ii) P \approx 1{,}51\times 10^{3}\\ \mathrm{atm}

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