Se a capacidade calorífica de uma substância for corretamente representada por uma equação com a forma
C_{P}=A+B T+C T^{2}
mostre que o erro resultante quando se considera \langle C P\rangle_{H} igual a C_{P}, avaliado na média aritmética das temperaturas inicial e final, é C\left(T_{2}-T_{1}\right)^{2} / 12.

Passo 1

O enunciado diz que
C_{P}(T)=A+B\,T+C\,T^{2}
e pede para comparar a média exata
\langle C_{P}\rangle=\frac{1}{T_{2}-T_{1}}\int_{T_{1}}^{T_{2}}C_{P}(T)\,dT
com a aproximação da média usando o valor no ponto médio
C_{P}\bigl(T_{m}\bigr)\quad\text{onde}\quad T_{m}=\frac{T_{1}+T_{2}}{2}\,.
Vamos integrar polinômios e depois calcular a diferença entre essas médias.

Passo 2

Calculemos a média exata:
\int_{T_{1}}^{T_{2}}C_{P}(T)\,dT =\int_{T_{1}}^{T_{2}}\bigl(A+B\,T+C\,T^{2}\bigr)\,dT =A\,\Delta T +\frac{B}{2}\bigl(T_{2}^{2}-T_{1}^{2}\bigr) +\frac{C}{3}\bigl(T_{2}^{3}-T_{1}^{3}\bigr)
onde \Delta T=T_{2}-T_{1}.
Dividindo por \Delta T obtém-se
\langle C_{P}\rangle =A+B\,\frac{T_{1}+T_{2}}{2} +C\,\frac{T_{1}^{2}+T_{1}T_{2}+T_{2}^{2}}{3}\,.

Passo 3

Agora a média aproximada no ponto médio:
C_{P}(T_{m}) =A+B\,\frac{T_{1}+T_{2}}{2} +C\,\Bigl(\frac{T_{1}+T_{2}}{2}\Bigr)^{2} =A+B\,\frac{T_{1}+T_{2}}{2} +C\,\frac{T_{1}^{2}+2T_{1}T_{2}+T_{2}^{2}}{4}\,.
Definimos o erro como
E =C_{P}(T_{m})-\langle C_{P}\rangle =C\Bigl[\frac{T_{1}^{2}+2T_{1}T_{2}+T_{2}^{2}}{4} -\frac{T_{1}^{2}+T_{1}T_{2}+T_{2}^{2}}{3}\Bigr].

Passo 4

Para simplificar note que, com denominação comum 12,
3(T_{1}^{2}+2T_{1}T_{2}+T_{2}^{2}) -4(T_{1}^{2}+T_{1}T_{2}+T_{2}^{2}) =-\bigl(T_{2}-T_{1}\bigr)^{2}.
Logo
E =C\,\frac{-\bigl(T_{2}-T_{1}\bigr)^{2}}{12} =-\frac{C\,(T_{2}-T_{1})^{2}}{12}.
Em módulo, o erro é
\frac{C\,(T_{2}-T_{1})^{2}}{12}\,.

Resposta

O erro na aproximação pela capacidade calorífica no ponto médio é
\frac{C\,(T_{2}-T_{1})^{2}}{12}.

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