Se a capacidade calorífica de uma substância for corretamente representada por uma equação com a forma
C_{P}=A+B T+C T^{2}
mostre que o erro resultante quando se considera \langle C P\rangle_{H} igual a C_{P}, avaliado na média aritmética das temperaturas inicial e final, é C\left(T_{2}-T_{1}\right)^{2} / 12.

Passo 1

O enunciado diz que a capacidade calorífica é dada por
C_{P}(T)=A + B\,T + C\,T^{2}
e pede para comparar a média verdadeira \displaystyle \langle C_{P}\rangle = \frac{1}{T_{2}-T_{1}}\int_{T_{1}}^{T_{2}}C_{P}(T)\,dT
com a aproximação que toma \langle C_{P}\rangle_{H}=C_{P}(T_{m})
onde \displaystyle T_{m}=\frac{T_{1}+T_{2}}{2}.
Vamos usar integração de polinômios e calcular essas duas expressões para depois ver o erro.

Passo 2

Calculemos primeiro a média verdadeira. Tem-se
\int_{T_{1}}^{T_{2}}C_{P}(T)\,dT =\int_{T_{1}}^{T_{2}}\bigl(A + B\,T + C\,T^{2}\bigr)\,dT =A\,(T_{2}-T_{1}) +\frac{B}{2}\bigl(T_{2}^{2}-T_{1}^{2}\bigr) +\frac{C}{3}\bigl(T_{2}^{3}-T_{1}^{3}\bigr).
Logo
\langle C_{P}\rangle =\frac{1}{T_{2}-T_{1}}\Bigl[ A\,(T_{2}-T_{1}) +\frac{B}{2}(T_{2}^{2}-T_{1}^{2}) +\frac{C}{3}(T_{2}^{3}-T_{1}^{3}) \Bigr].
Com álgebra de soma e diferença de cubos, chega-se a
\langle C_{P}\rangle = A + B\,\frac{T_{1}+T_{2}}{2} + C\,\frac{T_{1}^{2}+T_{1}T_{2}+T_{2}^{2}}{3}.

Passo 3

Agora a aproximação pelo ponto médio dá
\langle C_{P}\rangle_{H} = C_{P}(T_{m}) = A + B\,T_{m} + C\,T_{m}^{2}, \quad T_{m}=\frac{T_{1}+T_{2}}{2}.

Passo 4

O erro na média é
\Delta =\langle C_{P}\rangle_{H}-\langle C_{P}\rangle =C\Bigl[T_{m}^{2}-\frac{T_{1}^{2}+T_{1}T_{2}+T_{2}^{2}}{3}\Bigr].

Passo 5

Substituindo T_{m}^{2}=(T_{1}+T_{2})^{2}/4 e fazendo a redução ao mesmo denominador, obtém-se
T_{m}^{2}-\frac{T_{1}^{2}+T_{1}T_{2}+T_{2}^{2}}{3} =\frac{3(T_{1}^{2}+2T_{1}T_{2}+T_{2}^{2})-4(T_{1}^{2}+T_{1}T_{2}+T_{2}^{2})}{12} =-\frac{(T_{2}-T_{1})^{2}}{12}.
Portanto o erro em módulo é
\bigl|\Delta\bigr| =\frac{C\,(T_{2}-T_{1})^{2}}{12}.

Resposta

\frac{C\,(T_{2}-T_{1})^{2}}{12}.

Exercícios relacionados