Caracterizar el subespacio vectorial siguiente
\mathbf{W}=\left\{\text { combinaciones lineales de }\left[\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 2 & 4 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \text { y }\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right]\right\} \text { en } \mathbf{V}=\mathbf{R}^{2 \times 2}

Passo 1

O enunciado pede que a gente caracterize o subespaço vectorial
\mathbf{W}=\left\{\text{combinações lineares de } \left[\begin{array}{ll} 1 & 3\\[4pt] 0 & 1 \end{array}\right],\\ \left[\begin{array}{ll} 2 & 4\\[4pt] 0 & 1 \end{array}\right]\\ \text{e}\\ \left[\begin{array}{ll} 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 \end{array}\right]\right\}çõ
no espaço \mathbf{V}=\mathbb{R}^{2\times 2}.
Informações dadas (explicitadas):
A_1=\left[\begin{array}{ll}1 & 3\\[4pt]0 & 1\end{array}\right],\qquad A_2=\left[\begin{array}{ll}2 & 4\\[4pt]0 & 1\end{array}\right],\qquad A_3=\left[\begin{array}{ll}1 & 1\\[4pt]0 & 0\end{array}\right].
O objetivo é descrever \mathbf{W}=\operatorname{span}\{A_1,A_2,A_3\}: por exemplo, escrever a forma geral dos elementos de W, encontrar relações entre entradas, uma base e a dimensão.]

Passo 2

Vamos escrever a combinação linear geral. Seja a,b,c\in\mathbb{R}. Então um elemento genérico de W é
aA_1+bA_2+cA_3.
Calculemos entrada a entrada. Usando que a soma e multiplicação escalar atuam componente a componente, obtemos
aA_1+bA_2+cA_3 = \left[\begin{array}{ll} a\cdot 1 + b\cdot 2 + c\cdot 1 & a\cdot 3 + b\cdot 4 + c\cdot 1\\[6pt] 0 & a\cdot 1 + b\cdot 1 + c\cdot 0 \end{array}\right].
Para simplificar, defina as entradas do resultado por
\left[\begin{array}{ll} x & y\\[4pt]0 & z\end{array}\right],
onde, a partir do cálculo acima,
x = a + 2b + c,\qquad y = 3a + 4b + c,\qquad z = a + b.]

Passo 3

Agora vamos eliminar a,b,c para obter uma condição só nas entradas x,y,z (isto descreve o subespaço em termos das entradas das matrizes).
Da última igualdade temos
z = a + b \quad\Rightarrow\quad a = z - b.
Substituindo em x e y:
x = (z-b)+2b+c = z + b + c,
y = 3(z-b)+4b+c = 3z + b + c.
Observe que as duas expressões à direita têm o mesmo termo b+c. Subtraindo as duas expressões obtemos
x - y = (z + b + c) - (3z + b + c) = -2z.
Rearranjando,
x - y + 2z = 0.
Portanto toda matriz da forma \left[\begin{array}{ll}x&y\\[4pt]0&z\end{array}\right] que pertence a W satisfaz a condição linear
x - y + 2z = 0.]

Passo 4

Agora vamos escrever a forma paramétrica (útil para produzir uma base). A partir de antes notamos que b+c aparece junto; chame
t := b + c\quad\text{e}\quad z\\ \text{(já definido antes)}.á
Então
x = z + t,\qquad y = 3z + t.
Logo um elemento genérico de W pode ser escrito como
\left[\begin{array}{ll}x & y\\[4pt]0 & z\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}z+t & 3z+t\\[4pt]0 & z\end{array}\right] = t\left[\begin{array}{ll}1 & 1\\[4pt]0 & 0\end{array}\right] + z\left[\begin{array}{ll}1 & 3\\[4pt]0 & 1\end{array}\right].
Ou seja,
\mathbf{W}=\{\, tA_3 + zA_1 \mid t,z\in\mathbb{R}\,\}.
Isto já mostra que A_2 é redundante (ou seja, pertence ao espaço gerado por A_1 e A_3).]

Passo 5

Verifiquemos que A_1 e A_3 são linearmente independentes (para garantir que formam uma base de W). Suponha que existam \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha A_1 + \beta A_3 = \mathbf{0}.
Olhemos para as componentes: pela entrada (2,2) (inferior direita) temos
\alpha\cdot 1 + \beta\cdot 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad \alpha = 0.
Com \alpha=0, olhando para a entrada (1,2) (superior direita) obtemos
0\cdot 3 + \beta\cdot 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad \beta = 0.
Logo \alpha=\beta=0 é a única solução: A_1 e A_3 são linearmente independentes.

Passo 6

Com isso concluímos que A_1 e A_3 formam uma base de W. Assim \dim(\mathbf{W})=2 e temos as descrições equivalentes do subespaço:
  • forma paramétrica: \{\, tA_3+zA_1 \mid t,z\in\mathbb{R}\,\};
  • condição nas entradas: \left\{\left.\left[\begin{array}{ll}x & y\\[4pt]0 & z\end{array}\right]\in\mathbb{R}^{2\times 2}\\ \right|\\ x-y+2z=0\right\}.]

Resposta

\mathbf{W}=\left\{t\left[\begin{array}{ll}1 & 1\\[4pt]0 & 0\end{array}\right]+z\left[\begin{array}{ll}1 & 3\\[4pt]0 & 1\end{array}\right]\;\middle|\;t,z\in\mathbb{R}\right\}
Equivalently, \mathbf{W}=\left\{\left.\left[\begin{array}{ll}x & y\\[4pt]0 & z\end{array}\right]\in\mathbb{R}^{2\times2}\\ \right|\\ x-y+2z=0\right\}
Base: \left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 3\\[4pt]0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 1\\[4pt]0 & 0\end{array}\right]\right\}.
\dim(\mathbf{W})=2.]

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