Decidir cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales del correspondiente espacio vectorial \mathbf{V} indicado.
\mathbf{W}=\left\{\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) \in \mathbf{R}^{3} / a_{1}+a_{2}=0\right\} en \mathbf{V}=\mathbf{R}^{3}

Passo 1

Voy a dejar muy claro qué pide el problema y qué información da el enunciado. Nos dan el conjunto
\mathbf{W}=\{(a_{1},a_{2},a_{3})\in\mathbf{R}^{3}\mid a_{1}+a_{2}=0\}
y el espacio vectorial ambiente \mathbf{V}=\mathbf{R}^{3}. La pregunta implícita es: ¿es \mathbf{W} un subespacio vectorial de \mathbf{R}^{3}? Todas las coordenadas a_{1},a_{2},a_{3} son números reales. Eso es todo lo que nos dan.

Passo 2

Recordemos de forma didáctica qué significa ser subespacio vectorial. Un subconjunto S de \mathbf{R}^{3} es subespacio vectorial si cumple tres propiedades (estas son las que normalmente se prueban en un examen, memóralas):
  1. No está vacío (equivalente en la práctica a que el vector cero pertenezca a S).
  2. Cierre por suma: si u\in S y v\in S, entonces u+v\in S.
  3. Cierre por multiplicación escalar: si u\in S y c\in\mathbf{R}, entonces c\,u\in S.
Voy a aplicar estas tres comprobaciones paso a paso. Explico cada paso con lo mínimo necesario para que puedas reproducirlo en la prueba.

Passo 3

Comprobación de no estar vacío (contener el cero). El vector cero de \mathbf{R}^{3} es (0,0,0). Sustituimos en la condición de \mathbf{W}:
0+0=0,
que es verdadero. Por tanto (0,0,0)\in\mathbf{W}. Con esto ya garantizamos la primera condición.

Passo 4

Comprobación del cierre por suma. Tomemos dos vectores arbitrarios de \mathbf{W}:
u=(u_{1},u_{2},u_{3})\in\mathbf{W}\quad\text{y}\quad v=(v_{1},v_{2},v_{3})\in\mathbf{W}.
Por pertenecer a \mathbf{W} sabemos que
u_{1}+u_{2}=0\quad\text{y}\quad v_{1}+v_{2}=0.
Ahora calculamos la primera y segunda coordenada de la suma u+v:
(u+v)_{1}=(u_{1}+v_{1}),\qquad (u+v)_{2}=(u_{2}+v_{2}).
Sumamos esas dos coordenadas:
(u+v)_{1}+(u+v)_{2}=(u_{1}+v_{1})+(u_{2}+v_{2})=(u_{1}+u_{2})+(v_{1}+v_{2}).
Como u_{1}+u_{2}=0 y v_{1}+v_{2}=0, entonces
(u+v)_{1}+(u+v)_{2}=0+0=0.
Por la definición de \mathbf{W}, eso implica u+v\in\mathbf{W}. Así queda demostrado el cierre por suma.

Passo 5

Comprobación del cierre por multiplicación escalar. Sea u=(u_{1},u_{2},u_{3})\in\mathbf{W} y sea c\in\mathbf{R} cualquier escalar. Como u\in\mathbf{W} tenemos u_{1}+u_{2}=0. Consideramos el vector c\,u=(c u_{1},c u_{2},c u_{3}) y comprobamos la condición:
(cu)_{1}+(cu)_{2}=c u_{1}+c u_{2}=c(u_{1}+u_{2})=c\cdot 0=0.
Por tanto c\,u\in\mathbf{W}. Esto prueba el cierre por escalares.

Passo 6

Conclusión de subespacio. Hemos verificado las tres propiedades: contiene el vector cero, es cerrado por suma y cerrado por multiplicación por escalares. Por lo tanto \mathbf{W} es un subespacio vectorial de \mathbf{R}^{3}. ¡Buenísima noticia, es subespacio!

Passo 7

Para que te quede claro cómo describir \mathbf{W} y cómo justificar dimensión en la prueba, hago una parametrización y doy una base. Si (a_{1},a_{2},a_{3})\in\mathbf{W}, la condición es a_{1}+a_{2}=0, es decir a_{2}=-a_{1}. Pongo t=a_{1} y s=a_{3}. Entonces
(a_{1},a_{2},a_{3})=(t,-t,s)=t(1,-1,0)+s(0,0,1).
Eso muestra que todo vector de \mathbf{W} es combinación lineal de los vectores (1,-1,0) y (0,0,1). Es fácil comprobar que estos dos vectores son linealmente independientes (ninguno es múltiplo del otro), luego forman una base. Por tanto una base de \mathbf{W} es
\{(1,-1,0),(0,0,1)\},
y la dimensión de \mathbf{W} es 2. En la prueba puedes añadir esto para dar información extra sobre la estructura de \mathbf{W}.

Passo 8

Ejemplos concretos para afianzar (útil si te preguntan en la prueba para ilustrar): toma u=(1,-1,2)\in\mathbf{W} y v=(3,-3,0)\in\mathbf{W}. La suma es u+v=(4,-4,2) y cumple 4+(-4)=0. Para escalar, 2u=(2,-2,4) y cumple 2+(-2)=0. Esto reafirma las comprobaciones anteriores con números.

Resposta

Sí. \mathbf{W} es subespacio vectorial de \mathbf{R}^{3}.\nUna base es \{(1,-1,0),(0,0,1)\}.\n \dim(\mathbf{W})=2.

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