Decidir cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales del correspondiente espacio vectorial
indicado.
en
Passo 1
Voy a dejar muy claro qué pide el problema y qué información da el enunciado. Nos dan el conjunto
y el espacio vectorial ambiente
. La pregunta implícita es: ¿es
un subespacio vectorial de
? Todas las coordenadas
son números reales. Eso es todo lo que nos dan.
Passo 2
Recordemos de forma didáctica qué significa ser subespacio vectorial. Un subconjunto
de
es subespacio vectorial si cumple tres propiedades (estas son las que normalmente se prueban en un examen, memóralas):
- No está vacío (equivalente en la práctica a que el vector cero pertenezca a
). - Cierre por suma: si
y , entonces . - Cierre por multiplicación escalar: si
y , entonces .
Voy a aplicar estas tres comprobaciones paso a paso. Explico cada paso con lo mínimo necesario para que puedas reproducirlo en la prueba.
Passo 3
Comprobación de no estar vacío (contener el cero). El vector cero de
es
. Sustituimos en la condición de
:
que es verdadero. Por tanto
. Con esto ya garantizamos la primera condición.
Passo 4
Comprobación del cierre por suma. Tomemos dos vectores arbitrarios de
:
Por pertenecer a
sabemos que
Ahora calculamos la primera y segunda coordenada de la suma
:
Sumamos esas dos coordenadas:
Como
y
, entonces
Por la definición de
, eso implica
. Así queda demostrado el cierre por suma.
Passo 5
Comprobación del cierre por multiplicación escalar. Sea
y sea
cualquier escalar. Como
tenemos
. Consideramos el vector
y comprobamos la condición:
Por tanto
. Esto prueba el cierre por escalares.
Passo 6
Conclusión de subespacio. Hemos verificado las tres propiedades: contiene el vector cero, es cerrado por suma y cerrado por multiplicación por escalares. Por lo tanto
es un subespacio vectorial de
. ¡Buenísima noticia, es subespacio!
Passo 7
Para que te quede claro cómo describir
y cómo justificar dimensión en la prueba, hago una parametrización y doy una base. Si
, la condición es
, es decir
. Pongo
y
. Entonces
Eso muestra que todo vector de
es combinación lineal de los vectores
y
. Es fácil comprobar que estos dos vectores son linealmente independientes (ninguno es múltiplo del otro), luego forman una base. Por tanto una base de
es
y la dimensión de
es
. En la prueba puedes añadir esto para dar información extra sobre la estructura de
.
Passo 8
Ejemplos concretos para afianzar (útil si te preguntan en la prueba para ilustrar): toma
y
. La suma es
y cumple
. Para escalar,
y cumple
. Esto reafirma las comprobaciones anteriores con números.
Resposta
Sí.
es subespacio vectorial de
.\nUna base es
.\n
.