Um ciclo de Otto possui relação de compressão igual a 11 , tendo no início do curso de compressão igual a 100 KPa e temperatura a 20^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que a transferência de calor ao ar por ciclo é igual a 2000 \mathrm{Kj} / \mathrm{Kg} de ar, esquematize o diagrama P-V e determine:
a) A pressão e a temperatura no estado final de cada processo do ciclo;
b) O rendimento térmico;
c) A pressão média efetiva.

Passo 1

Enunciado contado de forma clara e lista de dados importantes:
  • Foi dado um ciclo de Otto com relação de compressão \;r=11.
  • No início do curso de compressão (estado inicial do processo 1) temos pressão \;p_1=100\\ \mathrm{kPa} e temperatura \;T_1=20^\circ\mathrm{C}. Converteremos para Kelvin: \;T_1=293,15\\ \mathrm{K}.
  • A transferência de calor ao ar por ciclo (calor fornecido a volume constante, de 2 para 3) é \;q_{in}=2000\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Pedidos:
    a) A pressão e a temperatura no estado final de cada processo do ciclo (ou seja, os estados 1, 2, 3 e 4 — prestar atenção que alguns estados já são dados).
    b) O rendimento térmico do ciclo.
    c) A pressão média efetiva.
  • Observações práticas (dados físicos que usarei): vou considerar ar ideal com razões de capacidades térmicas típicas:
    \;\gamma=\dfrac{c_p}{c_v}=1,4,\; R=0,287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\; c_v=0,718\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    Esses valores são padrão para ar e são necessários para relacionar temperaturas, pressões e calores no ciclo.

Passo 2

Entendendo as relações físicas que vamos usar (aulas rápidas e úteis):
  • Para um gás ideal, a equação de estado é
p v = R T,
onde \;p é pressão, \;v é volume específico ( \mathrm{m^3/kg}), \;R é a constante do gás por unidade de massa e \;T é a temperatura absoluta em Kelvin.
  • Processos isentrópicos (adiabáticos reversíveis) para um gás ideal satisfazem as relações:
T_2 = T_1\, r^{\gamma-1}
e
p_2 = p_1\, r^{\gamma},
onde \;r=V_1/V_2 é a razão de compressão.
  • Em transformação à volume constante (processo 2→3 no ciclo Otto), o calor fornecido por unidade de massa é
q_{in} = c_v (T_3 - T_2),
ou seja, \;T_3 = T_2 + \dfrac{q_{in}}{c_v}.
  • Em processo isentrópico de expansão (3→4), vale
T_4 = T_3\, r^{-(\gamma-1)}= \dfrac{T_3}{r^{\gamma-1}}
e
p_4 = p_3\, r^{-\gamma} = \dfrac{p_3}{r^{\gamma}}.
  • Rendimento do ciclo Otto (fórmula teórica simples) é
\eta = 1 - r^{-(\gamma-1)}.
Também pode ser calculado por energia: \eta = 1 - \dfrac{q_{out}}{q_{in}} com \;q_{out}=c_v(T_4-T_1).
  • Pressão média efetiva (P.M.E.) por kg de fluido é definida como o trabalho líquido por ciclo dividido pela cilindrada (volume deslocado) por kg:
p_{me} = \dfrac{W_{net}}{V_d} = \dfrac{q_{in}-q_{out}}{v_1 - v_2}.
Aqui \;v_1 e \;v_2 são volumes específicos nos estados 1 e 2 e V_d=v_1-v_2.
Vou aplicar essas fórmulas com os valores numéricos dados.

Passo 3

Cálculo de \;T_2 (fim da compressão isentrópica 1→2):
  • Fórmula usada:
T_2 = T_1\, r^{\gamma-1},
onde \;T_1=293,15\\ \mathrm{K}, \;r=11 e \;\gamma-1=0,4.
  • Cálculo:
r^{\gamma-1}=11^{0,4}\approx 2,609112,
T_2 = 293,15 \times 2,609112 \approx 764,74\\ \mathrm{K}.
Portanto \;T_2 \approx 764,74\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Cálculo de \;p_2 (pressão no fim da compressão 1→2):
  • Fórmula usada:
p_2 = p_1\, r^{\gamma}.
  • Cálculo:
r^{\gamma} = 11^{1,4} = 11 \times 11^{0,4} \approx 11\times 2,609112 \approx 28,700232,
p_2 = 100\\ \mathrm{kPa}\times 28,700232 \approx 2870,02\\ \mathrm{kPa}.
Portanto \;p_2 \approx 2870,02\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Cálculo de \;T_3 (fim do aquecimento a volume constante 2→3):
  • Fórmula usada:
q_{in} = c_v (T_3 - T_2) \quad\Rightarrow\quad T_3 = T_2 + \dfrac{q_{in}}{c_v}.
  • Substituindo:
\dfrac{q_{in}}{c_v} = \dfrac{2000\\ \mathrm{kJ/kg}}{0,718\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}} \approx 2788,856\\ \mathrm{K},
T_3 = 764,74 + 2788,856 \approx 3553,596\\ \mathrm{K}.
Portanto \;T_3 \approx 3553,60\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Cálculo de \;p_3 (pressão no fim do aquecimento a volume constante):
  • Em volume constante \;v_3=v_2, então \;p_3/p_2 = T_3/T_2.
  • Cálculo:
p_3 = p_2 \dfrac{T_3}{T_2} = 2870,02\\ \mathrm{kPa}\times \dfrac{3553,596}{764,74}\approx 13341,6\\ \mathrm{kPa}.
Portanto \;p_3 \approx 13341,6\\ \mathrm{kPa} (aprox. 13,34\\ \mathrm{MPa}).

Passo 7

Cálculo de \;T_4 (fim da expansão isentrópica 3→4):
  • Fórmula usada:
T_4 = \dfrac{T_3}{r^{\gamma-1}}.
  • Cálculo:
T_4 = \dfrac{3553,596}{11^{0,4}} = \dfrac{3553,596}{2,609112}\approx 1362,06\\ \mathrm{K}.
Portanto \;T_4 \approx 1362,06\\ \mathrm{K}.

Passo 8

Cálculo de \;p_4 (pressão no fim da expansão isentrópica):
  • Fórmula usada:
p_4 = \dfrac{p_3}{r^{\gamma}}.
  • Cálculo:
p_4 = \dfrac{13341,6\\ \mathrm{kPa}}{28,700232}\approx 464,81\\ \mathrm{kPa}.
Portanto \;p_4 \approx 464,81\\ \mathrm{kPa}.

Passo 9

Cálculo do calor rejeitado \;q_{out} e do rendimento térmico \;\eta:
  • O calor rejeitado no resfriamento a volume constante (4→1) é
q_{out} = c_v (T_4 - T_1).
  • Cálculo:
q_{out} = 0,718\\ (1362,06 - 293,15)\approx 0,718\times 1068,91 \approx 767,93\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Rendimento energético por definição:
\eta = 1 - \dfrac{q_{out}}{q_{in}} = 1 - \dfrac{767,93}{2000} \approx 1 - 0,383965 \approx 0,616035.
Em porcentagem: \;61,60\%.
  • Verificação pela fórmula do ciclo Otto:
\eta = 1 - r^{-(\gamma-1)} = 1 - \dfrac{1}{11^{0,4}} \approx 1 - \dfrac{1}{2,609112}\approx 0,616035,
mesmo valor — ótima consistência.

Passo 10

Cálculo da pressão média efetiva \;p_{me}:
  • Primeiro calcular volumes específicos nos estados 1 e 2 usando a equação de estado:
v_1 = \dfrac{R T_1}{p_1},\qquad v_2 = \dfrac{v_1}{r}.
  • Cálculo de v_1:
v_1 = \dfrac{0,287\times 293,15}{100} \approx 0,84134\\ \mathrm{m^3/kg}.
v_2 = \dfrac{0,84134}{11}\approx 0,076485\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • Volume deslocado (cilindrada por kg):
V_d = v_1 - v_2 \approx 0,84134 - 0,076485 \approx 0,764855\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • Trabalho líquido por kg (energia útil) é W_{net}=q_{in}-q_{out}:
W_{net} = 2000 - 767,93 \approx 1232,07\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Pressão média efetiva:
p_{me} = \dfrac{W_{net}}{V_d} = \dfrac{1232,07}{0,764855}\\ \mathrm{kJ/m^3}.
Lembrando que 1\\ \mathrm{kJ/m^3} = 1\\ \mathrm{kPa}, portanto:
p_{me} \approx 1611,10\\ \mathrm{kPa}.

Passo 11

Esquema do diagrama p- V e resumo numérico para plotagem
  • Descrição do diagrama p- V: comece em (v_1,p_1) com ponto 1; a compressão isentrópica 1→2 sobe pela curva adiabatica até (v_2,p_2); aquecimento a volume constante 2→3 é uma linha vertical para cima (mesmo v) até (v_2,p_3); expansão isentrópica 3→4 desce pela outra adiabática até (v_1,p_4); resfriamento a volume constante 4→1 é uma linha vertical para baixo (mesmo v_1) fechando o ciclo. Esse é o formato clássico do ciclo Otto.
  • Coordenadas numéricas (para 1 kg de ar) que ajudam a desenhar:
(v_1,p_1) = (0,84134\\ \mathrm{m^3/kg},\;100,00\\ \mathrm{kPa}),
(v_2,p_2) = (0,076485\\ \mathrm{m^3/kg},\;2870,02\\ \mathrm{kPa}),
(v_2,p_3) = (0,076485\\ \mathrm{m^3/kg},\;13341,6\\ \mathrm{kPa}),
(v_1,p_4) = (0,84134\\ \mathrm{m^3/kg},\;464,81\\ \mathrm{kPa}).

Resposta

a) Estado 1: p_1=100,00\\ \mathrm{kPa}, T_1=293,15\\ \mathrm{K}.
a) Estado 2 (fim da compressão): p_2\approx 2870,02\\ \mathrm{kPa}, T_2\approx 764,74\\ \mathrm{K}.
a) Estado 3 (fim do aquecimento a v.c.): p_3\approx 13341,6\\ \mathrm{kPa}, T_3\approx 3553,60\\ \mathrm{K}.
a) Estado 4 (fim da expansão): p_4\approx 464,81\\ \mathrm{kPa}, T_4\approx 1362,06\\ \mathrm{K}.
b) Rendimento térmico: \displaystyle \eta \approx 0,61604 (ou 61,60\%).
c) Pressão média efetiva: \displaystyle p_{me}\approx 1611,10\\ \mathrm{kPa}.

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