Um cientista determinou o comportamento PVT do etano (C2 H6) em diferentes condições de T e P. Com base nos dados experimentais ele propôs uma alteração para a EDE de van der Waals para descrever o comportamento do etano. A equação resultante é:
$$
P=\frac{R T}{V-b}-\frac{a}{V^{2} \cdot T} \text {, onde $$
(b) O que é uma equação cúbica de estado e o que representam as raízes dessa equação?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a equação de estado modificada de van der Waals para o etano, que relaciona pressão §, volume (V) e temperatura (T). A matéria principal aqui é Termodinâmica, mais especificamente, as equações de estado dos gases. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma equação cúbica de estado e o que significam as raízes dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação cúbica de estado. Em termodinâmica, uma equação de estado relaciona P, V e T de um gás. Quando dizemos que é cúbica, significa que a equação envolve o volume (V) elevado ao cubo, ou seja, $ V^3 $. Essas equações são chamadas assim porque o maior expoente de $ V $ na equação é 3, tornando-a cúbica.
Por exemplo, a equação de van der Waals é uma equação cúbica e tem a forma:
V^3
No caso da equação modificada apresentada na questão:
V
Observe que o volume $ V $ aparece no denominador com expoentes 1 e 2, o que, ao reorganizar, leva a uma equação cúbica em $ V $.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre as raízes dessa equação. As raízes são os valores de $ V $ que satisfazem a equação para determinados $ P $ e $ T $. Em outras palavras, são os valores de volume onde a pressão calculada pela equação de estado coincide com a pressão real do sistema.
Em uma equação cúbica, podemos ter até três raízes reais. Cada raiz representa uma possível fase do material:
  1. Raiz física ou real positiva: Geralmente representa a fase líquida do gás.
  2. Raiz intermediária: Pode não ter significado físico direto e é descartada na prática.
  3. Raiz real positiva: Representa a fase gasosa.
Portanto, as raízes nos ajudam a identificar em que estado (líquido ou gás) o etano está sob certas condições de pressão e temperatura.

Resposta

Uma equação cúbica de estado é uma relação matemática que envolve pressão, volume e temperatura de um gás, onde o volume aparece elevado ao cubo. As raízes dessa equação são os valores de volume que satisfazem a relação para determinadas condições de pressão e temperatura, correspondendo geralmente às fases líquida e gasosa do material.

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