E2- Cinquenta gramas de oxigênio estão contidos num cilindro equipado com êmbolo. As condições iniciais são 1,5 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2} e 20^{\circ} \mathrm{C}. Adicionaram-se então pesos ao êmbolo e o oxigênio foi comprimido, lenta e isotermicamente, até que a pressão final chegasse a 4,5 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}. Calcule o trabalho realizado durante esse processo.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Massa de oxigênio: m=50\\ \mathrm{g}.
  • Pressão inicial: P_i=1{,}5\\ \mathrm{kgf/cm^2}.
  • Pressão final: P_f=4{,}5\\ \mathrm{kgf/cm^2}.
  • Temperatura constante: T=20^\circ\mathrm{C}.
  • Processo: compressão lenta e isotérmica (ou seja, isoterma e quase-estática).
O que se pede: calcular o trabalho realizado durante esse processo. (Nota: durante compressão, o gás tem volume reduzido, então o trabalho realizado pelo gás será negativo; o trabalho realizado sobre o gás pela adição de pesos será positivo. Vou calcular ambos e explicar.)

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática): para um processo isoterma e reversível com um gás ideal, o trabalho realizado pelo gás ao variar o volume de V_i para V_f é dado por
W_{\text{pelo gás}}=\int_{V_i}^{V_f} P\,dV = nR T \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).á
Aqui:
  • W_{\text{pelo gás}}á é o trabalho realizado pelo gás (positivo se o gás expande, negativo se comprime).
  • n é o número de mols do gás.
  • R é a constante universal dos gases ideais ( R\approx 8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}).
  • T é a temperatura absoluta (em kelvin).
    Essa fórmula vem de usar a equação de estado PV=nRT para escrever P=nRT/V e integrar nRT\int dV/V.

Passo 3

Relação entre volumes e pressões: em temperatura constante para gás ideal, PV= constante, então V_f/V_i = P_i/P_f. Assim podemos escrever
W_{\text{pelo gás}} = nRT \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right) = nRT \ln\!\left(\frac{P_i}{P_f}\right) = -\,nRT\ln\!\left(\frac{P_f}{P_i}\right).á
Usaremos a forma -nRT\ln(P_f/P_i) porque aqui P_f>P_i (compressão).

Passo 4

Calcular o número de mols n: a massa molar do \mathrm{O_2} é M=32{,}0\\ \mathrm{g/mol}=0{,}032\\ \mathrm{kg/mol}. A massa dada é m=50\\ \mathrm{g}=0{,}05\\ \mathrm{kg}. Então
n=\frac{m}{M}=\frac{0{,}05}{0{,}032}=1{,}5625\\ \mathrm{mol}.

Passo 5

Converter a temperatura para kelvin:
T=20^\circ\mathrm{C}=20+273{,}15=293{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Calcular nRT. Primeiro R T:
R T = 8{,}314462618\cdot 293{,}15 \approx 2437{,}385\\ \mathrm{J/mol}.
Agora
nRT = 1{,}5625\cdot 2437{,}385 \approx 3808{,}414\\ \mathrm{J}.
(Esse termo nRT tem dimensão de energia e é a constante que multiplica o logaritmo.)

Passo 7

Calcular o logaritmo de razão de pressões: as pressões estão em proporção simples, P_f/P_i = 4{,}5/1{,}5 = 3. Então
\ln\!\left(\frac{P_f}{P_i}\right)=\ln 3 \approx 1{,}0986122887.
Usando a fórmula
W_{\text{pelo gás}} = -\,nRT\ln\!\left(\frac{P_f}{P_i}\right),á
obtemos
W_{\text{pelo gás}} \approx -\,3808{,}414 \times 1{,}0986122887 \approx -4183{,}97\\ \mathrm{J}.á

Passo 8

Interpretação final e sinal: o resultado acima é o trabalho realizado pelo gás (negativo porque houve compressão). O trabalho realizado sobre o gás (pelos pesos adicionados ao êmbolo) tem o mesmo valor em módulo, com sinal positivo:
W_{\text{sobre o gás}} = +4183{,}97\\ \mathrm{J}.á
Arredondando com três algarismos significativos, podemos dizer 4184\\ \mathrm{J}.

Resposta

Trabalho realizado pelo gás: -4183{,}97\\ \mathrm{J} (aprox. -4184\\ \mathrm{J}).
Trabalho realizado sobre o gás (pelos pesos adicionados): +4183{,}97\\ \mathrm{J} (aprox. +4184\\ \mathrm{J}).

Exercícios relacionados