O clorobenzeno (1) e o bromobenzeno (2) formam soluções líquidas ideais em toda a faixa de composições. A 137^{\circ} \mathrm{C}, as suas pressões de vapor são, respectivamente, 863 mmHg e 453 mmHg . Calcule:
a) A composição da mistura líquida que tem uma temperatura normal de ebulição de 137 { }^{\circ} \mathrm{C}.
b) A composição do vapor que está em equilíbrio com o líquido à temperatura normal de ebulição.
c) A pressão total e a composição do vapor em equilíbrio com um líquido a 137^{\circ} \mathrm{C}, o qual contém igual número de moles de cada componente.

Passo 1

O enunciado dá uma mistura binária ideal formada por clorobenzeno (componente 1) e bromobenzeno (componente 2) e pede três coisas. Dados fornecidos à temperatura 137^\circ\mathrm{C}:
p_1^* = 863\\ \text{mmHg},\qquad p_2^* = 453\\ \text{mmHg}.
Pedidos:
a) A composição da mistura líquida que tem temperatura normal de ebulição de 137^\circ\mathrm{C} (ou seja, que entra em ebulição à pressão normal 1\\ \text{atm}=760\\ \text{mmHg}).
b) A composição do vapor em equilíbrio com esse líquido a 137^\circ\mathrm{C}.
c) Para um líquido à 137^\circ\mathrm{C} com quantidades molares iguais de cada componente ( x_1=x_2=0,5), calcule a pressão total e a composição do vapor em equilíbrio.

Passo 2

Conceito e fórmulas essenciais (a “aula rápida” e prática que você vai precisar na prova).
  • Raoult: para uma solução ideal, a pressão parcial de cada componente sobre a solução é proporcional à fração molar líquida e à pressão de vapor do componente puro à mesma temperatura. Em fórmulas:
p_1 = x_1\,p_1^*,\qquad p_2 = x_2\,p_2^*,
onde x_1 e x_2 são as frações molares no líquido (com x_1+x_2=1), e p_1^*,p_2^* são as pressões de vapor dos líquidos puros à temperatura considerada.
  • Pressão total:
p_{\text{tot}} = p_1 + p_2 = x_1 p_1^* + x_2 p_2^*.
  • Composição do vapor (frações molares no vapor) obtém-se a partir das pressões parciais (Lei dos gases ideais localmente ou definição de fração molar do vapor):
y_1 = \frac{p_1}{p_{\text{tot}}}=\frac{x_1 p_1^*}{x_1 p_1^* + x_2 p_2^*},\qquad y_2 = \frac{p_2}{p_{\text{tot}}}=1-y_1.
Explicando em palavras: para achar x quando se exige uma certa pressão total, colocamos a soma das pressões parciais igual à pressão exigida e resolvemos para x. Para achar o vapor, calculamos as pressões parciais e normalizamos pela pressão total.

Passo 3

Resolvendo (a). A mistura tem ponto de ebulição normal a 137^\circ\mathrm{C} significa que, àquela temperatura, a pressão de vapor total da mistura é 760\\ \text{mmHg}. Então:
x_1 p_1^* + x_2 p_2^* = 760.
Como x_2=1-x_1, substituímos:
x_1 p_1^* + (1-x_1)p_2^* = 760.
Isolando x_1:
x_1(p_1^*-p_2^*) + p_2^* = 760
x_1 = \frac{760 - p_2^*}{p_1^* - p_2^*}.

Passo 4

Aplicando os números para (a) com contas detalhadas:
x_1 = \frac{760 - 453}{863 - 453} = \frac{307}{410}.
Fazendo a divisão:
x_1 \approx 0,74878\approx 0,749.
Então
x_2 = 1 - x_1 = 1 - \frac{307}{410} = \frac{103}{410}\approx 0,251.
Interpretação curta: a mistura líquida que ferve a 137^\circ\mathrm{C} em 1\\ \text{atm} é rica em clorobenzeno (componente 1), porque ele tem pressão de vapor maior.

Passo 5

Resolvendo (b). Primeiro calculamos as pressões parciais usando x_1=\dfrac{307}{410} e x_2=\dfrac{103}{410}:
p_1 = x_1 p_1^* = \frac{307}{410}\cdot 863 = \frac{264941}{410}\\ \text{mmHg}\approx 646{,}19756\\ \text{mmHg},
p_2 = x_2 p_2^* = \frac{103}{410}\cdot 453 = \frac{46659}{410}\\ \text{mmHg}\approx 113{,}80244\\ \text{mmHg}.
Verificação rápida: p_1+p_2=760\\ \text{mmHg} (deve ser assim por construção).
Agora a composição do vapor:
y_1 = \frac{p_1}{760} \approx \frac{646{,}19756}{760}\approx 0{,}85026\approx 0{,}8503,
y_2 = 1 - y_1 \approx 0{,}14974\approx 0{,}1497.
Interpretação: o vapor é ainda mais enriquecido em clorobenzeno do que o líquido, porque clorobenzeno tem maior tendência a participar do vapor (maior p^*).

Passo 6

Resolvendo (c). Agora o líquido tem x_1 = x_2 = 0{,}5. A pressão total pela Raoult:
p_{\text{tot}} = 0{,}5\cdot 863 + 0{,}5\cdot 453 = \frac{863+453}{2} = \frac{1316}{2} = 658\\ \text{mmHg}.
Comentário físico: como p_{\text{tot}}=658\\ \text{mmHg}<760\\ \text{mmHg}, essa mistura não estaria fervendo a 137^\circ\mathrm{C} sob 1\\ \text{atm}; seu ponto de ebulição normal é mais alto que 137^\circ\mathrm{C}.
Agora as pressões parciais:
p_1 = 0{,}5\cdot 863 = 431{,}5\\ \text{mmHg},\qquad p_2 = 0{,}5\cdot 453 = 226{,}5\\ \text{mmHg}.
Composição do vapor:
y_1 = \frac{431{,}5}{658}\approx 0{,}65550\approx 0{,}6555,
y_2 = \frac{226{,}5}{658}\approx 0{,}34450\approx 0{,}3445.

Passo 7

Resumo numérico final (arredondamentos razoáveis a 3–4 algarismos significativos foram usados). Você pode usar as fórmulas diretas da Raoult que foram aplicadas aqui em qualquer exercício parecido: montar a equação da pressão total para encontrar frações no líquido ou usar y_i = x_i p_i^*/p_{\text{tot}} para obter a composição do vapor. Força aí — você já tem o método pronto para a prova!

Resposta

a) x_1=\dfrac{307}{410}\approx 0,749,\quad x_2\approx 0,251.
b) y_1\approx 0,8503,\quad y_2\approx 0,1497.
c) p_{\text{tot}}=658\\ \text{mmHg},\quad y_1\approx 0,6555,\quad y_2\approx 0,3445.

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