(3,0) Um sistema cilindro-pistăo com uma mistura de gases ideais composta de 2 kmol de CH 4 , 1 kmol de N 2 e 1 kmol de CO 2 , todos a 20^{\circ} \mathrm{C} e 20 kPa . Calor é adicionado até a temperatura aumentar para 400^{\circ} \mathrm{C}, enquanto a pressão permanece constante. Determine:
(a) (1,0) A fração mássica de cada componente.
(b) (1,0) A quantidade de calor adicionado no sistema. Dica: \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{m} \cdot \Delta \boldsymbol{h}
(c) (1,0) o trabalho realizado pelo pistão do sistema. Dica: Faça o balanço de energia pela primeira lei da termodinâmica

Passo 1

O enunciado dá uma mistura de gases ideais dentro de um cilindro com pistão, com as quantidades molares e condições iniciais, e pede três coisas. Dados fornecidos:
\text{CH}_4: 2\\ \text{kmol},\qquad \text{N}_2: 1\\ \text{kmol},\qquad \text{CO}_2: 1\\ \text{kmol}
T_1 = 20^\circ\mathrm{C}=293{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_2 = 400^\circ\mathrm{C}=673{,}15\\ \mathrm{K}
P=20\\ \mathrm{kPa}\\ (\text{constante durante o aquecimento})
Perguntas:
(a) Calcular a fração mássica de cada componente da mistura.
(b) Determinar a quantidade de calor adicionada Q ao sistema, usando a dica Q = m\Delta h.
(c) Determinar o trabalho realizado pelo pistão, fazendo balanço de energia pela primeira lei da termodinâmica.

Passo 2

Vamos achar as massas de cada componente (precisaremos delas para as frações mássicas e para Q). Para isso uso massas molares aproximadas (valores usuais):
M_{\text{CH}_4}=16{,}04\\ \mathrm{kg/kmol},\quad M_{\text{N}_2}=28{,}02\\ \mathrm{kg/kmol},\quad M_{\text{CO}_2}=44{,}01\\ \mathrm{kg/kmol}.
Multiplico número de kmol por M para obter massas (em kg):
m_{\text{CH}_4}=2\cdot 16{,}04=32{,}08\\ \mathrm{kg}
m_{\text{N}_2}=1\cdot 28{,}02=28{,}02\\ \mathrm{kg}
m_{\text{CO}_2}=1\cdot 44{,}01=44{,}01\\ \mathrm{kg}
Massa total:
m_{\text{tot}}=32{,}08+28{,}02+44{,}01=104{,}11\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

(a) Fração mássica: definição e cálculo passo a passo.
A fração mássica de um componente i é
w_i=\frac{m_i}{m_{\text{tot}}}.
Calculo cada uma:
w_{\text{CH}_4}=\frac{32{,}08}{104{,}11}=0{,}3083\quad(\text{ou }30{,}83\%)
w_{\text{N}_2}=\frac{28{,}02}{104{,}11}=0{,}2693\quad(\text{ou }26{,}93\%)
w_{\text{CO}_2}=\frac{44{,}01}{104{,}11}=0{,}4224\quad(\text{ou }42{,}24\%).
Esses são os valores pedidos em (a).

Passo 4

(b) Cálculo do calor adicionado Q. Conceito: para gases ideais a entalpia específica h depende só da temperatura, e a variação de entalpia é
\Delta h = \int_{T_1}^{T_2} c_p(T)\,dT.
Se aproximarmos c_p por constante na faixa de temperatura (aproximação usual em problemas de prova), então \Delta h = c_p\Delta T. A dica do enunciado dá Q = m\Delta h (isso vale para processo a pressão constante, fechado, onde o calor trocado é igual à variação de entalpia da massa). Vou aplicar isso componente a componente e somar. Uso valores típicos de capacidades térmicas massicas aproximadas (constantes) em unidades \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}:
c_{p,\text{CH}_4}=2{,}22\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\quad c_{p,\text{N}_2}=1{,}04\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\quad c_{p,\text{CO}_2}=0{,}844\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Explique rapidinho: esses c_p são calor específico a pressão constante por unidade de massa; multiplicando por \Delta T obtemos \Delta h por unidade de massa, e multiplicando por m obtemos energia em kJ. A variação de temperatura é
\Delta T = T_2-T_1 = 673{,}15-293{,}15=380\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calculo do calor para cada componente:
Para \text{CH}_4:
\Delta h_{\text{CH}_4}=c_{p,\text{CH}_4}\Delta T = 2{,}22\cdot 380 = 843{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}
Q_{\text{CH}_4}=m_{\text{CH}_4}\Delta h_{\text{CH}_4}=32{,}08\cdot 843{,}6 = 27\,042{,}7\\ \mathrm{kJ}
Para \text{N}_2:
\Delta h_{\text{N}_2}=1{,}04\cdot 380 = 395{,}2\\ \mathrm{kJ/kg}
Q_{\text{N}_2}=28{,}02\cdot 395{,}2 = 11\,073{,}5\\ \mathrm{kJ}
Para \text{CO}_2:
\Delta h_{\text{CO}_2}=0{,}844\cdot 380 = 320{,}72\\ \mathrm{kJ/kg}
Q_{\text{CO}_2}=44{,}01\cdot 320{,}72 = 14\,114{,}0\\ \mathrm{kJ}
Somando:
Q_{\text{total}}=27\,042{,}7+11\,073{,}5+14\,114{,}0 = 52\,230{,}2\\ \mathrm{kJ}\approx 52{,}23\\ \mathrm{MJ}.

Passo 6

(c) Trabalho realizado pelo pistão — via definição e via primeira lei.
Definição: para processo a pressão constante com trabalho de borda somente \displaystyle W=\int_{V_1}^{V_2}P\,dV = P(V_2-V_1). Para gás ideal PV=nRT, assim
W = P\Delta V = nR\Delta T,
onde n é o número total de kmol e R a constante universal dos gases. Aqui n_{\text{tot}}=2+1+1=4\\ \text{kmol} e uso R=8{,}314\\ \mathrm{kJ/(kmol\cdot K)}. Então:
W = nR\Delta T = 4\cdot 8{,}314\cdot 380 = 12\,637{,}3\\ \mathrm{kJ}\approx 12{,}64\\ \mathrm{MJ}.

Passo 7

Verificação usando a primeira lei para sistema fechado (sem energia cinética/potencial): \Delta U = Q - W. Para gás ideal \Delta U = m\Delta u = m c_v \Delta T (onde c_v é a capacidade térmica a volume constante por unidade de massa). Podemos estimar c_v da mistura a partir de c_p da mistura e da constante específica R_{\text{espec}}:
Calculando c_{p,\text{mix}}=\dfrac{\sum m_i c_{p,i}}{m_{\text{tot}}}. Já tínhamos \sum m_i c_{p,i}=137{,}502\\ \mathrm{kJ/K} (isto é a soma dos produtos m_i c_{p,i} usada antes), então
c_{p,\text{mix}}=\frac{137{,}502}{104{,}11}=1{,}3206\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
A constante específica da mistura é
R_{\text{espec}}=\frac{R}{M_{\text{mix}}},
onde M_{\text{mix}}=\dfrac{m_{\text{tot}}}{n_{\text{tot}}}=\dfrac{104{,}11}{4}=26{,}0275\\ \mathrm{kg/kmol}. Logo
R_{\text{espec}}=\frac{8{,}314}{26{,}0275}=0{,}3194\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Então
c_{v,\text{mix}}=c_{p,\text{mix}}-R_{\text{espec}}=1{,}3206-0{,}3194=1{,}0012\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Agora \Delta U = m_{\text{tot}} c_{v,\text{mix}}\Delta T:
\Delta U = 104{,}11\cdot 1{,}0012\cdot 380 = 39\,593{,}0\\ \mathrm{kJ}.
E de fato verifica-se que
Q - W = 52\,230{,}2 - 12\,637{,}3 = 39\,592{,}9\\ \mathrm{kJ}\approx \Delta U,
consistência numérica dentro de arredondamentos. Isso confirma que os valores de Q e W estão corretos.

Resposta

(a) w_{\text{CH}_4}=0{,}3083 \;(\,30{,}83\%\;)
w_{\text{N}_2}=0{,}2693 \;(\,26{,}93\%\;)
w_{\text{CO}_2}=0{,}4224 \;(\,42{,}24\%\;)
(b) Q=52\,230{,}2\\ \mathrm{kJ}\approx 52{,}23\\ \mathrm{MJ}
(c) W=12\,637{,}3\\ \mathrm{kJ}\approx 12{,}64\\ \mathrm{MJ}

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