Um conjunto cilindro-pistão contém
inicialmente a 1 MPa e
e nesta condição o volume ocupado pelo gás é de 200 litros. A pressão total externa que atua sobre o pistão é inversamente proporcional ao quadrado do volume, de acordo com a relação
constante
. Este sistema é resfriado até que a temperatura do
atinja à temperatura de
. Considerando o gás como perfeito, determine:
e) O calor trocado pelo sistema.
e) O calor trocado pelo sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de termodinâmica envolvendo um cilindro-pistão com dióxido de carbono (
). Inicialmente, o gás está a uma pressão de 1 MPa, temperatura de
e ocupa um volume de 200 litros. A pressão externa sobre o pistão depende do volume de forma inversamente proporcional ao quadrado do volume, ou seja,
. O sistema é resfriado até que a temperatura do
cai para
. Queremos descobrir o calor trocado pelo sistema durante esse processo, considerando o gás como perfeito. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a primeira lei da termodinâmica e a equação dos gases ideais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre pressão e volume dada:
. Vamos encontrar essa constante usando as condições iniciais.
Sabemos que inicialmente:
Substituindo na fórmula:
Passo 3
Agora, a temperatura final é
, que em Kelvin é:
Vamos usar a equação dos gases ideais para encontrar o volume final
:
Dividindo as duas equações:
Sabemos que
, então substituímos:
Simplificando:
Passo 4
Com os volumes inicial e final, podemos calcular a quantidade de trabalho realizado pelo gás. O trabalho em um processo onde a pressão depende do volume é dado por:
Integrando:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a primeira lei da termodinâmica, que diz:
Onde
é a variação da energia interna,
é o calor trocado e
é o trabalho realizado pelo sistema.
Para um gás ideal, a variação da energia interna depende apenas da variação de temperatura:
Precisamos encontrar a quantidade de mols
. Usando a equação dos gases ideais na condição inicial:
Assumindo que
é um gás diatômico, a capacidade calorífica molar a volume constante é:
A variação de temperatura é:
Então,
Passo 6
Agora, usando a primeira lei da termodinâmica:
Rearranjando para encontrar
:
Resposta
O calor trocado pelo sistema é aproximadamente
.