Um conjunto cilindro-pistão contém CO2 inicialmente a 1 MPa e 300^circ C e nesta condição o volume ocupado pelo gás é de 200 litros. A pressão total externa que atua sobre o pistão é inversamente proporcional ao quadrado do volume, de acordo com a relação P= constante / V^2. Este sistema é resfriado até que a temperatura do CO2 atinja à temperatura de 20^circ C. Considerando o gás como perfeito, determine:
e) O calor trocado pelo sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de termodinâmica envolvendo um cilindro-pistão com dióxido de carbono ( CO2). Inicialmente, o gás está a uma pressão de 1 MPa, temperatura de 300^circC e ocupa um volume de 200 litros. A pressão externa sobre o pistão depende do volume de forma inversamente proporcional ao quadrado do volume, ou seja, P = constanteV^2. O sistema é resfriado até que a temperatura do CO2 cai para 20^circC. Queremos descobrir o calor trocado pelo sistema durante esse processo, considerando o gás como perfeito. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a primeira lei da termodinâmica e a equação dos gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre pressão e volume dada: P = constanteV^2. Vamos encontrar essa constante usando as condições iniciais.
Sabemos que inicialmente:
P1 = 1 MPa = 10^6 Pa
V1 = 200 litros = 0,2 m^3
Substituindo na fórmula:
10^6 = constante(0,2)^2
constante = 10^6 times 0,04 = 4 times 10^4 Pacdotm^2

Passo 3

Agora, a temperatura final é 20^circC, que em Kelvin é:
T2 = 20 + 273 = 293 K
Vamos usar a equação dos gases ideais para encontrar o volume final V2:
P1 V1 = n R T1
P2 V2 = n R T2
Dividindo as duas equações:
P1 V1P2 V2 = T1T2
Sabemos que P2 = 4 times 10^4V2^2, então substituímos:
10^6 times 0,24 times 10^4V2^2 times V2 = 300 + 273293
Simplificando:
2 times 10^54 times 10^4 times V2^-1 = 573293
2 times 10^5 V24 times 10^4 = 573293
5 V2 = 573293
V2 = 573293 times 5 approx 0,392 m^3

Passo 4

Com os volumes inicial e final, podemos calcular a quantidade de trabalho realizado pelo gás. O trabalho em um processo onde a pressão depende do volume é dado por:
W = integralV1^V2 P dV = integralV1^V2 4 times 10^4V^2 dV
Integrando:
W = 4 times 10^4 integralV1^V2 V^-2 dV = 4 times 10^4 [-V^-1]V1^V2
W = 4 times 10^4 (-1V2 + 1V1)
Substituindo os valores:
W = 4 times 10^4 (-10,392 + 10,2)
W = 4 times 10^4 (-2,551 + 5) = 4 times 10^4 times 2,449 approx 97.960 J

Passo 5

Agora, vamos aplicar a primeira lei da termodinâmica, que diz:
De
Onde De é a variação da energia interna, Q é o calor trocado e W é o trabalho realizado pelo sistema.
Para um gás ideal, a variação da energia interna depende apenas da variação de temperatura:
De
Precisamos encontrar a quantidade de mols n. Usando a equação dos gases ideais na condição inicial:
P1 V1 = n R T1
n = P1 V1R T1 = 10^6 times 0,28,314 times 573 approx 42,8 mols
Assumindo que CO2 é um gás diatômico, a capacidade calorífica molar a volume constante é:
Cv = 52R approx 20,785 J/(mol·K)
A variação de temperatura é:
De
Então,
De

Passo 6

Agora, usando a primeira lei da termodinâmica:
De
Rearranjando para encontrar Q:
Q = De

Resposta

O calor trocado pelo sistema é aproximadamente -152.040 J.

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